GMAT 数学题（7）

sdcar2010

n 为正整数。问 n 最大为多少能让 (2⁶)! 整除 2ⁿ ？

yayafl

刚才算错了。重新弄了一次：63

小困蛇

1*16+2*8+2*4+4*2+5*1+6*1=16+16+8+8+5+6=63

个人思路：
从2的六次开始想，其实就是问有多少个奇数倍的它存在于所有数中。
于是 2的六次 和 2的五次 都只能有一个
2的四次 可以有一倍和三倍 2个
2的三次  取最大积为56  用équiation arithmatique 求个数公式得到有4个
依此类推

最后烈士。。。感觉还是有点麻烦

-------------
刚才下面写二的四次有两个，上面打成3*4 囧 答案63！！！！

ludanthu

贡献一个思路，(2^6)!中含有2因子的其实都是偶数，一共2^5个，（奇数可以完全忽略，因为没有任何贡献），提出一个2^(2^5)因子后，剩下的问题就是(2^5)!最多可以被2^?整除，这就构成迭代了：

n = 2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0

(感觉上最后一项是到2^0，偷了个懒没仔细想)，这样应该即使把6换成未知数也没关系

觉得自己说不清楚。。。=____=

sdcar2010

刚才算错了。重新弄了一次：63

-- by 会员 yayafl (2011/1/3 10:52:00)

Could you share the thinking process of your calculation?

yayafl

刚才算错了。重新弄了一次：63

-- by 会员 yayafl (2011/1/3 10:52:00)

Could you share the thinking process of your calculation?

-- by 会员 sdcar2010 (2011/1/3 12:02:54)

看到题就知道是求2的倍数。但是本人数学功底很差，于是就狠狠的穷举了下，所有偶数都是2的倍数：
6＋5＋4＋3＋2＋1，然后4，8， 16， 32 的倍数，其他的一般偶数都算1。一共用了5分钟左右算出结果是63。因为要想重复了几次什么的。

其实后来发现最笨的方法其实就是列出所有偶数然后写出分别为2的n次的话，大概3分钟就可以算出结果(不好意思，10以内加减法不过关）。

［感想－虽然很笨，但是记时的目的是想让自己知道，在不能马上想出牛人的办法的时候，别强求，深呼吸，穷举下就是了。然后告诉自己，把自己当个一般美国人就是了。
谢谢大牛的题，学到了知识，还练习了心态。］

sdcar2010

刚才算错了。重新弄了一次：63

-- by 会员 yayafl (2011/1/3 10:52:00)

Could you share the thinking process of your calculation?

-- by 会员 sdcar2010 (2011/1/3 12:02:54)

看到题就知道是求2的倍数。但是本人数学功底很差，于是就狠狠的穷举了下，所有偶数都是2的倍数：
6＋5＋4＋3＋2＋1，然后4，8， 16， 32 的倍数，其他的一般偶数都算1。一共用了5分钟左右算出结果是63。因为要想重复了几次什么的。

其实后来发现最笨的方法其实就是列出所有偶数然后写出分别为2的n次的话，大概3分钟就可以算出结果(不好意思，10以内加减法不过关）。

［感想－虽然很笨，但是记时的目的是想让自己知道，在不能马上想出牛人的办法的时候，别强求，深呼吸，穷举下就是了。然后告诉自己，把自己当个一般美国人就是了。
谢谢大牛的题，学到了知识，还练习了心态。］

-- by 会员 yayafl (2011/1/3 12:44:32)

Actually your method is the same one I used and it cost me more than 3 minutes.

sdcar2010

贡献一个思路，(2^6)!中含有2因子的其实都是偶数，一共2^5个，（奇数可以完全忽略，因为没有任何贡献），提出一个2^(2^5)因子后，剩下的问题就是(2^5)!最多可以被2^?整除，这就构成迭代了：

n = 2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0

(感觉上最后一项是到2^0，偷了个懒没仔细想)，这样应该即使把6换成未知数也没关系

觉得自己说不清楚。。。=____=

-- by 会员 ludanthu (2011/1/3 11:57:54)

A brilliant method to solve this question.

What you are saying is the following:

1) If we only focuse on the even numbers in (2⁶)! , then

 (2⁶)! = (2⁶) *(2⁶ – 2)* (2⁶ – 4)* (2⁶ – 6) *. . . *(2⁵)* (2⁵ – 2) *(2⁵ – 4)* (2⁵ – 6)*. . . * 8 * 6 * 4 * 2

Total number of even numbers is 2⁶ / 2 = 2⁵ . If we drag one 2 from each even number, we will have

 (2⁶)! = (2^{2^5}) *[ (2⁵) *((2⁵ – 1)* (2⁵ – 2)* (2⁵ – 3) *. . . *(2⁴)* (2⁴ – 1) *(2⁴ – 2)* (2⁴ – 3)*. . . * 4 * 3 * 2 * 1] = (2^{2^5}) * [(2⁵)!]

2) If we repeat step (1) on (2⁵)!, we will get

(2⁶)! = (2^{2^5}) * [(2⁵)!] = (2^{2^5}) * (2^{2^4}) * [(2⁴)!] = . . . = (2^{2^5}) * (2^{2^4}) * (2^{2^3}) * (2^{2^2}) (2^{2^1}) * (2^{2^0})

         = 2^{(2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0)}

         = 2ⁿ

3) n = 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ + 2⁰ = 63

sdcar2010

1*16+2*8+2*4+4*2+5*1+6*1=16+16+8+8+5+6=63

个人思路：
从2的六次开始想，其实就是问有多少个奇数倍的它存在于所有数中。
于是 2的六次 和 2的五次 都只能有一个
2的四次 可以有一倍和三倍 2个
2的三次  取最大积为56  用équiation arithmatique 求个数公式得到有4个
依此类推

最后烈士。。。感觉还是有点麻烦

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刚才下面写二的四次有两个，上面打成3*4 囧 答案63！！！！

-- by 会员 小困蛇 (2011/1/3 11:28:04)

Another brilliant idea.  I knew you were off by 4, but I could not figure out where the extra 4 came from.  Now you solved it by yourself!

sdcar2010

One more deduction:

n 为正整数。问 n 最大为多少能让 (2^m)! 整除 2ⁿ ？

The answer is : n = 2^m - 1

For 2!, n = 1
For 4!, n = 3
For 8!, n = 7
For 16!, n = 15
For 32!, n = 31
For 64!, n = 63
For 128!, n = 127
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