余数题通解V2.0

zhlee

edmundshi 给出了一个方法：  （http://forum.chasedream.com/GMAT_Math/thread-403174-1-1.html）


对于 a^n 除以 p 的余数 可以化为


(bp + k)^n 除以 p


从而 变成解  k^n 除以 p


通过对 b 和 n 调整， 把 k 逐渐转换为1  


具体解法看 http://forum.chasedream.com/GMAT_Math/thread-403174-1-1.html


我稍微补充一个定理。


　　欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则
　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n)


如果 n 是质数 那么 φ(n)=n-1 ，这个定理就变成了费马小定理。


余数是1， 意味着可以 φ(n)的倍数可以直接消除！
定理不用记忆， 我们直接做题目：


题一，7^50 除以15 的余数


15分解为 3 和 5 两个质数 3-1=2 、 5-1=4


按照费马小定理，7平方 除 3 的时候余数是1 ； 7的4次方 去除 5 的余数是1

所以7 的 4次方 除 15 的时候余数是也是1


7^50 ≡ ((7^4)^12)*7^2  ≡ 7^2 = 49 ≡  4  (mod 15)



题二，3^50 除以 8 的余数
φ(8)=4
3^50 ≡ 3^2 ≡ 1 (mod 8)

题三， 13^50除以8  的余数
φ(8)=4
13^50 ≡ 13^2 ≡ 1 (mod 8)


题目四： 10006 的 10003次方， 除 17 的余数
10006 ≡ 10 (mod 17)
10003 ≡ 3 (mod 16)
10006 ^ 10003 ≡  10^3 = 1000 ≡ 14 (mod 17)

zhlee

关于欧拉函数的使用

GMAT可能考到的情况中， 除数肯定是小于20的。但是欧拉函数是靠数数数出来的（数数,数），数数是考场上最容易出错的计算步骤！比如8的欧拉函数， 就是比8小而且和8互质的数字（1,3,5,7），一共4个，就是4。但是数的时候很容易把1给漏了！

那就先分析一下吧：

除数1-4 不可能考， 选项都不够放呀

5 6 7 10 11 13 14 15 17 19 这些数字， 要么是质数，要么是两个质数的乘积， 所以都不需要求欧拉函数。

剩下来 8 9 12 16 18 20  （这些数是4的倍数或者9的倍数）， 对应的欧拉函：

8 —— 4
9 —— 6
12 —— 4
16 —— 8
20 —— 8

记住了就可以了，特别是前3个。 或者当场数 —— 但是记住，数出来肯定是 4 、6 或者8。

bmathhcx

太牛了，这是数论了吧？

zhlee

15的欧拉函数是8， 但是3-1=2 , 5-1=4 ， 2和4的最小公倍数是4， 所以这里把15的欧拉函数当成4也没有问题。而且这样算比数欧拉函数更快，更准。

zhlee

我再出个简明操作手册


A 的 B 次方， 除以 C ，余数是多少？

附加条件 ： A ，C 互质

解法：  

第一步： 如果 A 比 C 大， 那么直接用A 除以 C 求出余数 A' ， 把A 替换掉。

第二部： 求C的欧拉函数， 如果C是质数，欧拉函数就是 C-1； 如果C是几个不同的质数相乘，那么就取这些质数各自减一之后的那组数的最小公倍数；如果是 8 9 12 16 18 20， 那么对应是 4 6 4 8 6 8。  求出了的欧拉函数值为 o 。 不需要记住欧拉函数，可以做题的时候数出来。

第三部： 如果B比o大， 那么B直接除以o求出余数B' ， 把B替换掉。

第四部：直接算吧，数字已经很小了。



举个例子 ： 10006 的 10003次方， 除 17 的余数
第一步： 10006 除以 17 余 10  ， 用10 替换  10006
第二部： 17的欧拉数是16
第三部： 10003 除以16 余3， 用3替代 10003
第四部： 求出 10 的3次方， 除以 17 ， 余数是14

zhlee

欧拉函数的定义： 正整数N的欧拉函数，就是比N小，而且和N互质的正整数的个数。
举个例子 10， 和  1,3,7,9 互质， 10的欧拉函数就是4。


（数的时候不要忘了把1数进去！）


20以内的欧拉函数（或替代欧拉函数）表：

5  —— 4  —— 质数，后面质数都不标了
6  —— 2  —— 6=2x3, 1和2的公倍数，实际上也是6的欧拉数
7 —— 6  
8 —— 4  —— 欧拉函数
9 —— 6 ——  欧拉函数
10 —— 4 —— 10=2x5, 1和4的公倍数， 实际上也是10的欧拉数
11 —— 10
12 —— 4 —— 欧拉函数
13 —— 11
14 —— 6 —— 14=2x7， 1和6的公倍数， 实际上也是14的欧拉数
15 —— 4 —— 15=3x5 ， 2和4的公倍数， 可替代欧拉数， 而15真正欧拉数是8
16 —— 8 —— 欧拉函数
17 —— 16
18 —— 6 ——  欧拉函数
19 —— 18
20 —— 8 ——  欧拉函数

不用记住，有个印象就可以，做题的时候数就可以。 20以内，非质数的欧拉函数全都是 4、6、8 ，除了6的欧拉数是2以外。

tinnashen

xie xie louzhu 勤苦了

keith139

牛帖留名！

fox900617

这个方法希望有多点案例

tinnashen

如果超出欧拉定理的适用范围, a 和n 不互质, 该怎么办呢?