2^90 + 3^90 (mod 5) = 4^45 + (9)^45 (mod 5) =4^45 + 4^45 (mod 5) 做到这里，然后为什么 （5-1）^45+(5-1)^45 (mod 5) =1^45+1^45 (mod 5) =2 这样做怎么错了？ -- by 会员 记忆钢琴 (2010/2/5 19:11:48)
5-1的话，应该余数就是-1了，（-1）^45=-1 懂了吗？ -- by 会员 知之为之之 (2010/2/5 19:14:26)
LZ和各位tx，提个建议，是不是最好不要拆分成两数想减的形式，比如2^10=(5-3)^10.假设求j^n除以k的余数，之所以j^n=(mk+q)^n, 可以利用二项式定理展开，可以舍弃q^n，有个前提，q是非负整数，且0=<q<k. 如果q是个负数，那么前面n项展开就要考虑正负号。根据OG12的定义，“If x and y are positive integers, there exist unique integers q and r, called the quotient and remainder, respectively, such that y = xq + r and 0 ≤ r < x.”。只有正整数才有资格讨论商和余数。举个例子，-5+4的余数是多少，4还是-1，而且-5余数是0的提法是不符合定义的，不严密的。请仔细阅读http://forum.chasedream.com/GMAT_Math/thread-403174-1-1.html，里面也强调分解成两个正整数相加的形式。一起讨论哦。-- by 会员 大荣 (2010/2/5 22:23:03)
嗯，你有这个想法挺好的，不过我在这里引入负数，主要是为了让计算更简便，最终的结果的话肯定还是要用正数来表达。 引入负数的话，在对那些比如说：2^100 mod 9这样的题目尤其方便，如果一定要用正数，那么2^4=16=9+7，于是题目就变成 7^25 mod 9。。。还需要继续变化。但是如果用负数呢，2^3=8=9-1,于是题目就变成 (2^3)^33 * 2 mod 9=(-1)^33 *2 mod 9=-2 mod 9 =7 您看是不是方便很多呢？ 而且你提到那个二项式的展开，其实你自己想想，其实不用考虑前面的正负号，而只用关心最后那个数字的正负号就行了，对不对？因为前面的数都是你要除的那个数的倍数，所以无论是加是减，结果一定还是除数的倍数，对吧。所以最终还是化到最后那个余数上面来了。您可以试试展开看看。 对于我们学数学的同学，余数概念大概要要比GMAT上定义的要广义一点。 -- by 会员 知之为之之 (2010/2/5 22:43:42)
恩，确实某些情况拆成减1的形式可以算得快。其实，2^100 mod 9还可以看成[(63+1)^16]*[2^4] mod 9也很快的,呵呵。
我仔细再想了一下，j^n=(mk+q)^n，GMAT题不讨论负数的余数问题，所以GAMT题中j总是正整数，这个正数保证q^n以外的n项和一定是个正整数，这就和定义match上了。
LZ看怎么算的快就怎么算吧。 | 
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发表于 2010-2-5 22:23:03