一道反复出现的数学鸡精题，大牛给看看

花布

以下是引用bearwinnie在2009/10/10 22:33:00的发言：

不用sin cos算得这么精确吧，考场上不实用

其实我也觉得这么有点不实用。换个角度，如果问题是问是否周长大于26，

根据（1），五角形的任何一个边小于它所对应的弧的长度，而弧的长度是2*pai*r*（180-54*2）/360=8pai/5=25.12<26

可是（2），如果不知道sin54,我想不到更好的方法了。

请NN们指点一下。

[此贴子已经被作者于2009/10/10 23:58:13编辑过]

adai

以下是引用花布在2009/10/10 23:57:00的发言：

其实我也觉得这么有点不实用。换个角度，如果问题是问是否周长大于26，

根据（1），五角形的任何一个边小于它所对应的弧的长度，而弧的长度是2*pai*r*（180-54*2）/360=8pai/5=25.12<26

可是（2），如果不知道sin54,我想不到更好的方法了。

请NN们指点一下。

我觉得若能确定可以计算出唯一的值就可以了，不一定要计算到底

若给出的条件能确定4*5/sin54 且表达式能计算出唯一值（即该值可以和23or26比较），该条件就充分了。

至于比较结果是大于还是小于，条件不同则结果会不同；

DS题关键还是判断条件够不够充分。

花布

有道理

zengwj

11.   DS：机经96题的变体：一个五边形，给出两个五边形的情况（从情况可以证明五边形是正五边形），这个五边形内切于一个圆，然后问是否可以计算出五边形的周长>20

（1）圆的半径是4

（2）五边形的任何一条对角线小于8

我这么做。圆的内切图形中，越多边周长就越接近圆的周长，也就是说，内切正五边形周长比内切正方形长，根据条件1）可得出内切正方形周长22.6>20, 五边形周长大于22.6.故选A.

JJJooe

实在搞不懂条件二怎么成立的...就是选a么！！

adai

以下是引用JJJooe在2009/10/11 3:23:00的发言：
实在搞不懂条件二怎么成立的...就是选a么！！

仔细想想算算，我也觉得条件(2)不充分

正五边形的话，关于条件(2)"对角线<8"的计算如下

设正五边形的边长为x，对角线长为a；由正五边形的性质可得其内角度数为108；

于是有 sin54=a/2x=>x=a/2sin54

正五边形的周长为5x=(5/2sin54)*a, 但是a的值域为(0,8)，且正五边形的周长随a的增大而增大，我们就计算两头的极限情况

a无限趋近0，则周长趋于0<20

a无限趋近8，则周长趋于(5/2sin54)*8=20/sin54>20 （此处我们只需要知道sin54<sin90=1就好了，不用计算到底）

于是条件（2）不充分

于是这题选A

我比较担心的是如何能看出和证明这个五边形是正五边形？ 若不是正五边形，答案是E？

内接与圆的非正五边形的周长一定大于正方形的周长吗？希望NN来说说，若是，（1）还是充分的，(2)我觉得就无法计算了

[此贴子已经被作者于2009/10/11 5:35:21编辑过]

ckwok

选A，问周长〉20

1）周长=40*sin36>40*sin30=40*1/2=20

2）若对角线无限->0，周长=0；若对角线-〉8，周长=20/sin54>20/sin60=23.1；无法判断。

变体选D，问周长〉26

1）同上，周长〉20但外圆周长8pai=25.13<26。因此当r=4，20<周长<26 （无需知道sin36，实际周长=23.5）

2）若对角线-〉8，周长=20/sin54 如何证明<26 ？？ 虽然知道sin54=0.809 周长《24.72〈26

adai

以下是引用ckwok在2009/10/11 6:07:00的发言：

选A，问周长〉20

1）周长=40*sin36>40*sin30=40*1/2=20

2）若对角线无限->0，周长=0；若对角线-〉8，周长=20/sin54>20/sin60=23.1；无法判断。

变体选D，问周长〉26

1）同上，周长〉20但外圆周长8pai=25.13<26。因此当r=4，20<周长<26 （无需知道sin36，实际周长=23.5）

2）若对角线-〉8，周长=20/sin54 如何证明<26 ？？ 虽然知道sin54=0.809 周长《24.72〈26

正五边形的周长为5x=(5/2sin54)*a, 但是a的值域为(0,8)，且正五边形的周长随a的增大而增大，我们就计算两头的极限情况

a无限趋近0，则周长趋于0<26

a无限趋近8，则周长趋于(5/2sin54)*8=20/sin54 =20/0.809016994<26（此处我们只能计算到底了，sin60和sin45带入结果相反）

于是条件（2）充分

此变体选D

[此贴子已经被作者于2009/10/11 6:43:08编辑过]

adai

鉴于此题的变体如此变态，我google到一个函数帮助手工计算sin值，仅供参考

sinx=-0.113x^3-0.07x^2+1.03x （x∈[0,π/2]）
用这个函数可以算出锐角的sin值，精度为0.01
然后任意角的三角函数都可以用诱导公式算出。
如果想减少计算量，还有一个精确到0.05的函数：
sinx=-0.34x^2+1.2x（x∈[0,π/2]）

jerry827

In conclusion

问周长〉20 选A

问周长〉26 选D

？