不错的两个数学题 可以练习下数论

hyfchobits

1。试找出一个七位数，它的各位数字各不相同，它还可被自己的每一位数整除。 求它的各位数字都是多少。

2。一堆火柴共3001根。 每人每次可从中取走p^n根(n=0,1,2,... ),p为小于3001任意一个给定质数。谁取得最后一根火柴，就算谁赢，谁有必胜的策略？只有在只剩1根火柴的时候，才可以取走1根。（提示：先看6跟的情形。2971为质数）

答案可能不对，因为是自己做的

解：1。这个七位数肯定没有0出现。

     2．如果这七位数为一个奇数，则2，4，6，8都不能整除它，所以只能在1，3，5，7，9选择，而它的各位数字各不相同，所以无法凑足7位。所以，这个七位数一定是偶数。

3．综合1，2，这个7为数是一个偶数，并且尾数不是0，所以，不能被5整除。

4．现在只有1，2，3，4，6，7，8，9中选择7个。1，2肯定没问题，如果这七位数数字和不被3整除的话，9也没戏，所以七位数数字和必须被3整除。

5．1，2，3，4，6，7，8，9中选择7个共8种选法。1+2+3+4+6+7+8+9等于45-5=40，数字和被3整除，需要去掉1或4或7。共3情况。

6．去掉1：2，3，4，6，7，8，9剩下。末尾放偶数可以满足2，3已经成了，于是6也成，数字和39不被9整除，败。

7．去掉7，数字和33不被9整除，败。

8．只剩1种情况：去掉4. 数字为1，2，3，6，7，8，9。

2。

这题非常考验分类讨论的能力。

只有6火柴：谁先走谁输。此时无论做什么都输。

所以如果A想获胜，必须把或柴拿到剩下6跟，然后B走，然后A获胜。

但是根据规则不能一次拿走2995根，拿走2971 还有30。

 

A： 拿走2971 还有30。

B： 不能给A留1，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29根，和4，8，16，9，27，25根。所以只剩留下6，10，12，14，15，18，20，21，22，24，26，28根，即需要拿走24，20，18，16，15，12，10，9，8，6，4，2根，其中只有16，9，8，4，2是规则允许的。

拿走16的话：还有14，A拿8跟，B完蛋。所以，还剩14的时候，谁先走谁胜。

拿走9： 还有21，A只可能拿2，3，4，5，7，8，9，11，13，16，17，19。其中17，19，16，13，8，5，2，4会使B直接拿光。所以只有3，7，9，11可以。此时剩下18，14，12，10，B拿。对于10和14，B拿4和8， A输，所以不行。对于12，B不能拿2跟：剩10，A拿4跟，B完。不能拿3，4，5，7，8，9，11，因为A接下来可以一次拿完。所以B没的可走，走什么都输。对于18，B不能拿2，17，16，13，11，9，7，5。只能4，3，8。4：14，A拿8即可，3： 15，A拿9即可，8：10，A拿4即可。所以，对于18，谁先走谁完。所以还有21时，A拿3即可。

拿走8：还有22，A拿4，剩18，B完。

拿4：还有26，A拿8。

拿2，还有28，如何到达18呢？10不能拿，拿2，A反而输，拿3，5，7，9，A都输。拿8，剩20，B拿2，A输。所以A只能拿4。还有24，B怎么办？B不能让A弄到了18，但是这似乎没有可能。（24-18=6）B拿2，3，4，5，A都可以从容应对，最终使A拿完，剩18。其他方法呢？B拿7，8？A赢了。拿9？剩15，A拿9，剩6，B又输。拿11，13，16，17都完。

所以讨论结束，A 先拿2971，然后有必胜策略。

summerlucia

的确不错！

intersun

我比较好奇这个题能在多久之内做出来？

sheibiwosha

楼主自己解答了啊

那我就不献丑了，呵呵

[此贴子已经被作者于2008-9-15 18:07:44编辑过]