数学寂静162题的一点小问题,到底选C还是D

162、Square A的四个顶点的坐标是（1，0）（-1，0）（0，1）（0，-1），Square B的一个顶点在原点（0，0）另一个在（s,t）,问s,t满足什么条件时B的面积和A的面积相交的部分等于A的面积的四分之一

（1）s=1  （2）t=1

今天研究了很久这道题.最后选C,不知道对不对,如有错误希望大家帮忙指出~
过程很复杂,在考试中是几乎不可能想全的,不知道这是不是出题人的本意，如果没有考虑周全的话很容易选D,(甚至我觉得出题人的本意就是选D的,只是他们也没有考虑周全.)

首先(1)+(2)肯定没问题，关键是单(1)或单(2)是否可以，由于对称性,若单(1)可以,单(2)一定也可以,所以我只考虑(1)
这样s=1,t任意,也就是点(1,t),这点可以在x=1直线上任意移动.
不妨只讨论t>=0的情况，t<0时将图象沿x轴翻转既可获得
以(0,0)和(1,t)这两点为squareB的顶点有两种构造方法,1,相临顶点,将这两点连接作为一边,2,对角顶点,这两点的连线作为对角线
分别考虑 t=0,0<t<1,t=1,t>1
t=0或t=1时,不管以哪种构造方法,很容易看出相交面积等于1/4的A,省略
下面就剩下四种情况:构造方法1:0<t<1,t>1,构造方法2:0<t<1,t>1,分别做下面4幅图
实线是SquareB,虚线是构造出来的3个和B全等的正方形,这样,这3个正方形和B分别与A相交成4个彩色区域,可以看出这4个彩色区域面积相等(因为，将图象旋转90度,180度,270度,它们完全重合)
在图1,2,4中，4个彩色区域加起来正好是整个A,所以每个区域正好1/4的A,满足题意
而图3(构造方法2，0<t<1)中，这4个的和并没有覆盖整个A,空出了粉色的四个角,所以每个区域小于1/4的A
因为有了这两种不同的情况，所以,只有条件(1)无法判断相交面积是否等于1/4的A
所以选了C,但还是觉得也许这不是出题的本意吧...粗看起来很像D,但画了很多才画出了图3这种情况,无奈还是要选C,如有错误希望大家帮忙指出~

[attachimg]73209[/attachimg]

是啊~要是有这样的限制就好了~就可以放心的选D了...

那上面图3的那种情况呢~当对角线且0<t<1时,相交面积确实小于了1/4A啊(如果我没弄错的话),麻烦看看一起讨论下吧

P.S. 觉得图3那种情况之所以出问题是因为正方形B大小增长的太慢了,虽然还是将A分4份但是没有能够完全覆盖上...

觉得D

有个NN说他考到的是这样的：

见

http://forum.chasedream.com/dispbbs.asp?boardID=22&ID=415705&page=1

题目都一样，就是选项不一样。

2）DS：此题要自己画图，有一个正方形ABCD在坐标系中，顶点分别为A(1,0), B(-1,0), C(0,1), D(0,-1)，另外有一个正方形PQ为其一边，P(0,0)，另一点Q(s,t)，问是否两正方形相交部分面积为ABCD的1/4      1) s^2 =1  2) t ^2 =1

解析： D 自己画图，关键是相交部分始终是直角，这样相交四边形的面积就可以补到ABCD的一个1/4三角形中，附上图，一看就明白，不知道阴影怎么画，大家将就着看啦

前人题目：

2）DS：此题要自己画图，有一个正方形ABCD在坐标系中，顶点分别为A(1,0), B(-1,0), C(0,1), D(0,-1)，另外有一个正方形PQ为其一边，P(0,0)，另一点Q(s,t)，问是否两正方形相交部分面积为ABCD的1/4      1) s^2 =1  2) t ^2 =1

给出限制，排除对角线可能，确定选D~~