求教prep07上的一个数学题啊，关于τ(mn) = τ(m)τ(n)

baby歙

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The positive integer k has exactly two positive prime factors, 3 and 7.If k has a total of 6 positive factors, including 1 and k, what is the value of k ?



(1) 3² is a factor of k.



(2) 7² is not a factor of k.

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【答案】D

【思路】

對任意正整數 n，先定義因子個數函數τ(n)。可以證明τ是一個 multiplicative 函數，意思是說τ(mn) = τ(m)τ(n)。m, n 互質，才有τ(mn) = τ(m)τ(n)。而對於質數 p，很明顯我們有：τ(
) = (r + 1)。
舉例：用這公式算一下 90 的因子個數，τ() = (r + 1)，
τ(90) = τ[(2)(
) (5)] = τ(2)τ()τ(5) = (1+1)(2+1)(1+1) =(2)(3)(2) = 12個
再舉120為例：120=2^3*3^1*5^1 因子個數為 (3+1)(1+1)(1+1)=16 個



題目說
,共6個因子
因此(x+1)(y+1)=6,則共有(2,3)(3.2)-->(x,y)有 either(1,2)or(2,1)的組合
所以, ,,的互相乘積皆是可能factors
(1) 3² is a factor of k.

(3^0)(7^0) = 1
(3^0)(7^1) = 7
(3^1)(7^0) = 3
(3^1)(7^1) = 21
(3^2)(7^0) = 9
(3^2)(7^1) = 63 (k, itself) (x≧2, so it must be true that x=2 and y=1)

由條件得知k's positive factors:1,3,7,9,21,k
k=63 .........sufficient

(2) 7² is not a factor of k.

k有6個positive factors,且只有3,7兩個質因子
表示k可因式分解為
×7or 3×
此條件排除了第二個可能，y<2, so x=2 andy=1.
所以k=63 ...............sufficient

这个是prep的解释，但是为什么在第一个条件的时候，没有考虑7的二次方呢？明明上一句说了啊

sdcar2010

Because 1) only (2, 1) or (1,2) are allowed, 2) factor 3 already took the 2, 3) so 7 can only take the 1.

baby歙

好的，谢谢啦！