寂静数学第188题讨论——我计算错误，第二个条件不能证否

gwendolinecn

大N，先声明我数学很烂，只是想到用反证的方法而已。以下是题目：
<V2> ；还有一个是A圆和B圆，A圆以原点为圆心，B圆以（1,1）为圆心，A半径r，B半径R，问你AB相切么

A：R^2+r^2=-2Rr+2

B：R^2-r^2=2r
第一个我们已经确认为充分。主要是讨论第二个条件。
如果我们反过来思考，即证明如果这个公式既不能满足内切条件，也不能满足外切条件，那么就可以反证这个条件不可能使两圆相切。
证明，如果要满足外切条件，则必须满足：R=1，且r=2^(1/2)-1。把这两个条件代入等式，发现不成立，因此确定外切不成立；（声明：这个是我计算错误，代入后等式是成立的！抱歉）
然后证明满足内切的条件，即R-r=2^(1/2) or R=r+2^(1/2)。把这个条件代入等式，发现也不成立（r<0），因此确定内切也不成立。因此，该等式可以证否两圆相切的情况。所以这个条件仍然充分。
如果以上推导成立，那么，该DS应该选择D而非A.
请大NN们出现一下，看看这个推导是否成立。多谢！(14号就考试了，盼NN们及早出现啊)

sdcar2010

R=1，且r=2^(1/2)-1

R^2-r^2=1 - (2 -2*(2)^(1/2) + 1) = 2 (2^(1/2)-1) = 2r

So 外切成立, if R = 1 and r = 2^(1/2)-1, R^2-r^2 does equal 2r.

looniee

大N，先声明我数学很烂，只是想到用反证的方法而已。以下是题目：
<V2> ；还有一个是A圆和B圆，A圆以原点为圆心，B圆以（1,1）为圆心，A半径r，B半径R，问你AB相切么

A：R^2+r^2=-2Rr+2

B：R^2-r^2=2r
第一个我们已经确认为充分。主要是讨论第二个条件。
如果我们反过来思考，即证明如果这个公式既不能满足内切条件，也不能满足外切条件，那么就可以反证这个条件不可能使两圆相切。
证明，如果要满足外切条件，则必须满足：R=1，且r=2^(1/2)-1。把这两个条件代入等式，发现不成立，因此确定外切不成立；然后证明满足内切的条件，即R-r=2^(1/2) or R=r+2^(1/2)。把这个条件代入等式，发现也不成立（r<0），因此确定内切也不成立。因此，该等式可以证否两圆相切的情况。所以这个条件仍然充分。
如果以上推导成立，那么，该DS应该选择D而非A.
请大NN们出现一下，看看这个推导是否成立。多谢！(14号就考试了，盼NN们及早出现啊)

-- by 会员 gwendolinecn (2010/12/11 10:50:43)

这题我已经证过了，很简单，答案就是D

看这里：http://forum.chasedream.com/GMAT_Math/thread-505899-1-1.html

gwendolinecn

谢谢loonie!看来是的啦。

gwendolinecn

你认为答案应该是什么丫？

R=1，且r=2^(1/2)-1

R^2-r^2=1 - (2 -2*(2)^(1/2) + 1) = 2 (2^(1/2)-1) = 2r

So 外切成立, if R = 1 and r = 2^(1/2)-1, R^2-r^2 does equal 2r.

-- by 会员 sdcar2010 (2010/12/11 11:50:56)

looniee

谢谢loonie!看来是的啦。

-- by 会员 gwendolinecn (2010/12/11 12:11:37)

恩，别客气，你的反证法也是一种思路～
另外这题考试的时候我估计应该是测试题吧～～

肉圓兒

我表示条件2只是证明不能内切，
按外切算是可以算出来的。。。。。。。

肉圓兒

但是如果算外切的话
R+r=根2
R^2-r^2=2r
可以解出来r=1/(1+根2)
符合

肉圓兒

当然，我的意思是说 外切是可以成立的，不是说一定外切
所以条件2证明不了是否相切
还是选A

looniee

继续讨论

表示怀疑的接受A