修正[数学寂静]：“x+y被5除余1，y+z被5除余2，z+x被5除余3，x+y+z除5余几？”

edmundshi

余数为3，推理如下：

x+y被5除余1=>X+Y-1=5k, X=5k+1-Y
y+z被5除余2=>Y+Z-2=5j, Z=5j+2-Y
z+x被5除余3=>Z+X-3=5l,
将X与Z用Y的表达式代入得：5(k+j)-2Y=5l
由于2不是5的倍数，得出Y必为5的倍数。即Y能被5整除。
所以，
X+Y+Z除以5的余数问题直接转化为X+Z除以5的余数问题
由题目得，
X+Z除以5的余数为3！！

leeyuan1

思路可以借鉴～感谢分享～

LittleMike

这题弄得我自己都疑惑了，余数这个概念的定义是限制在整数范围内的吗？

edmundshi

这题弄得我自己都疑惑了，余数这个概念的定义是限制在整数范围内的吗？

-- by 会员 LittleMike (2009/11/3 11:14:45)

不管限不限制，我的推导都没有问题~~~

LittleMike

将X与Z用Y的表达式代入得：5(k+j)-2Y=5l
由于2不是5的倍数，得出Y必为5的倍数。即Y能被5整除。

如果不限制Y为整数，那么不能得出Y可以被5整除的，比如Y=2.5

edmundshi

将X与Z用Y的表达式代入得：5(k+j)-2Y=5l
由于2不是5的倍数，得出Y必为5的倍数。即Y能被5整除。

如果不限制Y为整数，那么不能得出Y可以被5整除的，比如Y=2.5

-- by 会员 LittleMike (2009/11/3 11:21:56)

哦，不好意思。我欠考虑了。
那加上余数的定义好了：
在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“餘留下的量”。 当余数为零时，被称为整除。
参考资料：
维基百科：余数（中文）
wikipedia：Remainder(English)

也就是余数是只有“在整数相除”的时候才会出现的“整数量”

再证明一下“X、Y、Z均为整数”：
由题干得，"X+Y", "Y+Z", "Z+X"均为整数。由问题得，"X+Y+Z"为整数。
问题的结论依次减去题干的三个结论易得，X，Y，Z都为整数。