一道函数题。。。

五月的天

    

The function f is defined for each positive
three-digit integer n by f(n) = 2^x3^y5^z, where
x, y and z are the hundreds, tens, and units digits of n, respectively.  If m and v are three-digit positive integers
such that f(m) = 9f(v), then m-v = ?

    

 

    

A.    8

    

B.    9

    

C.    18

    

D.    20

    

E.    80

ruin_bow

f(n)= 2^x3^y5^{z
n=xyz
设m =x'y'z' 则f(m)=} 2^x'3^y'5^{z'
设n =x''y''z'' 则f(m)=} 2^x''3^y''5^z''
由f(m) = 9f(v)可知 2^x‘3^y’5^z‘= 9X2^x’‘3^y’‘5^{z’‘
变换一下}2^x‘3^y’5^z‘=
    3² 2^x’‘3^y’‘5^z’‘
             2^x‘3^y’5^z‘=
    2^x’‘3^y’‘+25^z
由于全为正整数,可得y'=y''+2
这里需要讨论充分性,因为f(n) = 2^x3^y5^z 方程中唯一可能存在3的倍数的因子是3^y 所以可以判断x'=x'' z'=z''既m与v两个三位数的百位和个位均相等,
y是十位数 y'=y''+2的意义就是m的十位数比v大2
所以m-v=20

五月的天

谢谢LS！！好像有头绪了