一个数n被3除余1，被4除余2，被5除余1，问被60除余几？

lydia887

丑得老婆哭

这个数最小是46

n=3k+1;n=4L+2;n=5M+1;求出通项n=60K+46.

所以余数是46

小鱿鱼0823

楼上的再讲讲这个通项是什么个解题概念？以及还可以用在什么类型的题目上面？

丑得老婆哭

76. 有个正整数，被7除余1，求它的值。

条件一，被9除余7。

条件二被4除余3。

解法：选E。设所求正整数为X，通项为X=Am+n，根据条件一可得，X=Am+n=7a+1=9b+7，A是7和9的最小公倍数=63，n为X的最小值，即满足7a+1=9b+7的最小的（a，b）值=>7a=9b+6=3(3b+2)。从这个等式来看，a必然是3的倍数，(3b+2)必然是7的倍数，很快可以得出3b+2=14，b=4，a=6。所以X=63m1+43，根据m1的取值不同，X有很多不同值，所以条件一不充分。

同理可求得条件二下的通项为X=28m2+15，同样根据m2不同取值X可能为很多不同的值。条件二不充分。

联立条件一和条件二得：63m1+43=28m2+15 => 63m1=28m2-28 => 9m1=4(m2-1)。其中，m1必然为4的倍数，(m2-1)必然为9的倍数，可得无数组(m1，m2)。条件一＋条件二也不充分。

这里说一个一招搞定的做法：

通项S，形式设为S=Am+B，一个乘法因式加一个常量

系数A必为两小通项因式系数的最小公倍数

常量B应该是两个小通项相等时的最小数，也就是最小值的S

例题：4－JJ78(三月84).ds某数除7余3，除4余2，求值。

解：设通项S=Am+B。由题目可知，必同时满足S=7a+3=4b+2

      A同时可被7和4整除，为28（若是S＝6a+3=4b+2，则A＝12）

      B为7a+3=4b+2的最小值，为10（a=1.b=2时，S有最小值10）

      所以S＝28m＋10

     满足这两个条件得出的通项公式，必定同时满足两个小通项。如果不能理解的话，就记住这个方法吧，此类的求通项的问题就能全部，一招搞定啦

[此贴子已经被作者于2005-10-16 22:42:25编辑过]

小鱿鱼0823

谢谢～原来真没有搞清楚这个通项的概念

midbus

弱智问一个: n=3k+1;n=4L+2;n=5M+1;求出通项n=60K+46.通项中46是怎么来得呢?

所以余数是46

你说:常量B应该是两个小通项相等时的最小数，也就是最小值的S

这个46我还是不明白.....

scrogon

我也不太明白如何快速地得到那个46？看你的说法好像不是试出来的

ayang1017

万一实在试不出来，我可以给一个不太简单的方法

n=3k+1;n=4L+2;n=5M+1;

他们分别取最小值时，可发现分别是4,6,6

设这个最小的共同值为x；那么

x-4=3a;x-6=4b;x-6=5c

3a=4b+2;4b=5c

可以观察b:c=5:4

那么b＝5，发现4b+2=22不是3的倍数

b＝10，4b+2=42，没问题就是它了

这个x＝46啦

scrogon

又是ayang。。。还可以省略一步。。。

n=3k+1;n=5M+1;n=4L+2

k:m=5:3

when k=5, n=16(不符合n=4L+2)

。。。k=10, n=31(不符合n=4L+2)

...k=15, n=46, ok!

scrogon

又看了几分钟，终于会找了，贯通。。。