数学讨论：2~23内素数相乘的那道题及变体一只，补充背景知识证明

alicemars · 发表于 2011-9-26 20:20:44

题干：
16 V1：（by ISA91）
PS：K is one less than product of all the prime intergers,2-23,inclusive, following choices哪几个成立：K可以被2－23中的几个数整除/K可以被30整除/K可以被大于23的某质数整除
这题，就是这题，NND,LZ我耗了很久，最后死算！选的是ONLY ONE~~

以下是刨根问底型求解方式，渴求知识的童鞋可以继续阅读，马上要考试的童鞋请直接跳到最后

解答：
K=2*3*……*23-1=37 * 131 * 46027
google到的，分解出来质因数了，反正2~23内没有数可以整除，大于23有3个质因数，感觉选项没有答案= =

关于这道题的一个变体，刚看到，一并放过来借鉴下：
48V1：（bywyny）
PS：n是1-29的质数的乘积加1。
1）n is divisible by 30
2）忘了
3）n可以被比29大的某个质数整除。
然后几个选项正确的是：（1）// （2）// （3）// （1）&（2）// （2）&（3）
当时算得时候验证出1）和3）是错的。所以后来选的2）。
也不知道当时算得对不对。。筒子们算下1）和3）吧，觉得还是有点儿坑爹的题。

解答：
同样是百度到的：2*3*5*7*11*13*17*19*23+1=223092871=317*703763
说明其实3是对的，2不知道是啥，所以应该只能选C或者E吧

补充相关数论证明：

如何证明任意从2开始的一串连续质数相乘的乘积减1是质数

首先，任意从2开始的一串连续质数相乘的乘积减1肯定是奇数（这一步也可以不要）。
其次，[（2*3*5*7*11*....*n） - 1 ] 这个数，被2、3、5、7、11、....n去除，余数总是 -1 ，即不能整除。同时，被2、3、5、7、11、....n共m个数中任意两个数的积、3个数的积、4个数的积、......、m个数的积去除，余数也总是 -1 ，即不能整除。（所以命题成立？）

后来我发现这个证明有漏洞。事实上，所给的命题不成立。很容易找到反例。
例如： 2*3*5*7 - 1 = 209，而 209 = 11*19 就不是素数。
还有
2*3*5*7*11*13*17-1 = 510509
2*3*5*7*11*13*17*19-1 = 9699689
2*3*5*7*11*13*17*19*23-1 = 223092869
等都不是素数。很多很多。

总之，这两个变体都是此命题的反例，均不是素数。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
简易解法
这题到这也算告一段落，可是我忽然觉得有点不太对劲，美国人那点脑子怎么会出这么难的数论题目？且不说聪明的华人做不出来，这一系列的推导恐怕要把考试时间耗掉一大半了，不符合GMAT考试的原则啊，必然会有简易解法。

经过和舍友以及各位CDER的点拨后，我顿悟了！！！！
这道题根本不是考察这个纠结的大数K是不是素数！！！！事实上题目也没有这么问！！！
题目中的三个结论：K可以被2－23中的几个数整除/K可以被30整除/K可以被大于23的某质数整除，前两个很容易排除掉是错误的
至于第三个：如果K不是素数，必然有大于23的质因数；如果K是素数，可以被自己整除，也有大于23的质因数
所以这个结论无论如何肯定是正确的！！！

题目中的选项正确的是：（1）// （2）// （3）// （1）&（2）// （2）&（3）
那么就锁定了是C!!!!!!
OVER

乙苯 · 发表于 2011-9-26 21:08:53

不用分解质因数可以推出此数不可能被23以内的任何正整数整除（1除外），因为：
1) 23以内质数：这个数是23以内任意质数的倍数减1，所以对任意质数取余得1（即不能整除）
2) 23以内非质数：想要整除23以内某非质数，先要至少能够整除这个非质数的某个质数因数，而23以内所有非质数的所有质数因数都小于23。因为1)，此数不能整除23以内任何数的质数因数，因此不能整除任何23以内的非质数。

30：类似2), 要整除30, 至少可以整除3，而因为1)，所以此数不能整除30

ky7022 · 发表于 2011-9-26 21:54:51

所以是选only one 吗 K可以被大于23的某质数整除求解

Suki007 · 发表于 2011-9-26 21:55:21

楼上的意思是这道题铁定是0个了是吗？

zhipei · 发表于 2011-9-26 21:56:01

我不理解的是为啥能被大于23的某个质数整除？？里面根本就没有23的任何因子，哪来的整除？

ky7022 · 发表于 2011-9-26 21:57:19

K=2*3*……*23-1=37 * 131 * 46027 可以被37 131 46027整除咯
是这么理解吧

zhipei · 发表于 2011-9-26 22:01:04

K=2*3*……*23-1=37 * 131 * 46027 可以被37 131 46027整除咯
是这么理解吧

-- by 会员 ky7022 (2011/9/26 21:57:19)

我顿悟了！多谢提醒~~

xyxy3238 · 发表于 2011-9-26 22:06:18

楼上的乘积不对吧~但思路应该是对的

sophiazihan · 发表于 2011-9-26 22:08:00

这····不是prep破解上得一道类似的题么···？那题选大于40··就是一样的原理吧

isariverson · 发表于 2011-9-26 22:12:03

其实根本不用算，你想啊，其实就两种可能，有这么个与自身不同的质数，或者没有。

如果有，那这个选项就对
如果没有，因为它也不能被＜２３的质数整除，所以它本身就是个质数，当然能被本身，即一个大于２３的质数整除哦，貌似题目中没说大于２３的质数不能是其本身

数学讨论：2~23内素数相乘的那道题及变体一只，补充背景知识证明

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