6月数学JJ疑问

bubucat · 发表于 2008-6-14 15:13:00

机经第105题，关于x^2+y^2能不能被5整除一题。

机经给的算法似乎有问题。x+y 和 x-y 被5除时的商不一定相同，所以，应分别设为M和N

(x+y)^2 = (5M+1)^2; (x-y)^2 = (5N+2)^2

这样两公式相加得到 2(x^2+y^2)，等号右边带M和N的式子还需要除2才能判断题目所问。这时就没有办法决定 25(M^2+N^2)/2 是不是可以被5整除。所以我感觉这题选E，而不是C

不知道我分析的是否有问题。盼牛人指点

iamlawrence · 发表于 2008-6-14 23:14:00

以下是引用bubucat在2008-6-14 15:13:00的发言：

这样两公式相加得到 2(x^2+y^2)，等号右边带M和N的式子还需要除2才能判断题目所问。这时就没有办法决定 25(M^2+N^2)/2 是不是可以被5整除。所以我感觉这题选E，而不是C

有同感，大家讨论下

yurong629 · 发表于 2008-6-15 00:30:00

天哪都没发现.. 请NN指点

mymengming · 发表于 2008-6-15 07:11:00

105. x^2+y^2 能不能被5整除

(1) x+y被5除余1
(2) x-y 被5除余2

楼主的分析是的对的，但是不够测地，答案不变，还是C

假设x+y=5a+1
x-y=5b+2
2x=5(a+b)+3 （1）
2y=5(a-b)-1 （2）
由（1）（2）联立得（a+b）和（a-b）都是奇数，也就是说a和b一个奇数和一个偶数

（x+y）^2+（x-y）^2=2(x^2+y^2)=25(a^2+y^2)+10(a+2b)+5
x^2+y^2=[25(a^2+y^2)+10(a+2b)+5]/2
由于a和b一个奇数，一个偶数，所以a^2+y^2也是奇数，乘以25也是奇数，且结尾是5，所以+5后结尾时10，令为10t
所以2(x^2+y^2)=10（t+a+2b），
也就是说x^2+y^2=5（t+a+2b）,所以肯定可以被5整除

晕死，变态的题目，做了我10分钟

mymengming · 发表于 2008-6-15 07:12:00

谁有简便方法？拿出来分享，谢谢

mymengming · 发表于 2008-6-15 07:23:00

想到特殊值法
首先，不管是x+y,x-y还是x^2+y^2除以5的余数都是靠x和y的个位数字决定的，这样试出x和y的个位数只能是（4，2）或者（9，2）,从而得出答案可以除尽，余数是0

无论哪个方法都不省劲啊

橙紫 · 发表于 2008-6-15 11:22:00

LS的厉害啊``

我想的也是E,昨天看了讨论都是E``

幸亏ls指出``

谢谢!

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