{求助}杨辉三角的一题(FF)

joywzy · 发表于 2003-6-21 16:41:00

17、
O
X X
  X X X
X X X X
X X X X X
凹凹凹凹

上图的第一行的“O”表示一个小球。第2、3、4行的“X”表示障碍物。第6行的“凹”表示小凹槽。小球从上落下，掉到第3行时受中间的障碍物阻滞，会向左或向右的机率是各百分之五十。以下亦然。
问：最后掉到第6行的第二个小凹槽的机率有多大？

【答案】3/8
【思路】画图作吧.
O
      X       X
   X    X    X
  X 1/2    1/2 X
X 1/4  1/4+1/4 1/4 X
凹  1/8+1/4  凹凹
第三行：
3-1的概率：0.5；
3-2的概率：0.5
第四行：
4-1的概率：0.5*0.5=0.25
4-2的概率：0.5*0.5+0.5*0.5=0.5
4-3的概率：0.5*0.5=0.25

第五行：
5-1的概率：0.25*0.5 =0.125
5-2的概率：0.25*0.5+0.5*0.5=0.375
5-3的概率：0.25*0.5+0.5*0.5=0.375
5-4的概率：0.25*0.5=0.125
所以掉进第2个小凹槽的概率为：0.375
这道题让我想起杨辉三角形，所谓的二项式分布就是(A+B)的N次方的系数！
1次方：    1
2次方： 1,2,1
3次方：  1,3,3,1
4次方： 1,4,6,4,1
...
(A+B)的n次方的系数为：Cn,0; Cn,1; Cn,2......Cn,n
我觉得用这个方法来解决这个问题非常简单明了，还可以推广开去，有N排障碍物，可以归结为(N-1)次方的系数，利用上述的三角形就可以求解。

那么5次方，应是1,5，10,5，1
分母是多少，分子是5吗？

谢谢。

hz · 发表于 2003-6-21 18:25:00

5次方应是1,5,10,10,5,1。
分母是32，分子是多少要看求的是哪一个位置。
每一层从第一项、第二项开始，系数依次两两相加就可得到下一层的中间项的系数。

joywzy · 发表于 2003-6-21 18:42:00

如果以这题为例，掉进第二个槽中呢？分子该如何判断？

hz · 发表于 2003-6-21 19:04:00

O
X X
X X X
X X X X
X X X X X
凹凹凹凹

你说的位置不好找，因为按照题意，这一题的图是从第四层，去掉首尾，才相当于杨辉三角的第一层。因此，就这一题而言，第6层的第二个槽相当于杨辉三角的第三行第二项的系数，也就是3，分母应是各项系数之和1+3+3+1=8。再重新对应一次看看。

1次方： 1,1
2次方： 1,2,1
3次方： 1,3,3,1
4次方： 1,4,6,4,1

joywzy · 发表于 2003-6-21 19:27:00

以为讨了个便宜的方，看来也不省事啊。

首先要判断杨辉三角的第一层对应图中哪一层，还是搞不清。

donna · 发表于 2003-6-21 20:16:00

我觉得不用搞这么复杂吧！只要把路线搞清楚就可以了。
而每掉到下一层的概率都是1/2啊！有两个去向：左右
如果只有一条路线是符合题目的，那么总的概率就是1/2的N次方，此处N为层数

braveMBA · 发表于 2003-6-21 23:33:00

洋灰是谁？是中国女足的那个后卫吗？

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