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對任意正整數 n，先定義因子個數函數 τ(n)。可以證明 τ 是一個 multiplicative 函數，意思是說 τ(mn) = τ(m)τ(n)。m, n 互質，才有 τ(mn) = τ(m)τ(n)。而對於質數 p，很明顯我們有：τ( ) = (r + 1)。
舉例：用這公式算一下 90 的因子個數，τ( ) = (r + 1)，
τ(90) = τ[(2)( ) (5)] = τ(2)τ( )τ(5) = (1+1)(2+1)(1+1) = (2)(3)(2) = 12個
再舉120為例：120=2^3*3^1*5^1 因子個數為 (3+1)(1+1)(1+1)=16 個
題目說 , 共6個因子
因此(x+1)(y+1)=6,則共有(2,3)(3.2)-->(x,y) 有 either(1,2)or(2,1) 的組合
所以 , , , 的互相乘積皆是可能factors
(1) 32 is a factor of k.
(3^0)(7^0) = 1
(3^0)(7^1) = 7
(3^1)(7^0) = 3
(3^1)(7^1) = 21
(3^2)(7^0) = 9
(3^2)(7^1) = 63 (k, itself) (x≧2, so it must be true that x=2 and y=1)
由條件得知k's positive factors:1,3,7,9,21,k
k=63 .........sufficient
(2) 72 is not a factor of k.
k有6個positive factors,且只有3,7兩個質因子
表示k可因式分解為 ×7or 3×
此條件排除了第二個可能，y<2, so x=2 and y=1.
所以k=63 ...............sufficient
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发表于 2011-3-22 16:06:09
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