og11 maths ps题241 不会做，请教！快考了，急！多谢！

Leochenrq · 发表于 2007-12-5 18:12:00

if the integer n has exactly 3 positive divisors, including 1 and n, how many positive divisors does n^2 have?

答案为什么是5？

我只能想到用数去试，比如n是9的话，可以适用，那么81的因子包括1和81本身在内，也就只有3和9了，那也才4个呀，为什么答案是5？

另外能否有普遍性的方法解这个知识点？

谢谢！

chonheinrich · 发表于 2007-12-5 18:28:00

9有1，3和9

81有1，3，9，27，81

OG上原题有解释

sidong · 发表于 2007-12-5 18:58:00

ls同学不厚道，人家来问按说已经看过og的答案了嘛！

这道题思路是这样：

一个整数只有3个正的因子，可以推导出的是，这个整数只能是一个质数的平方，right？

表达如下：n=p^2

那么，这个整数的平方，就是某个质数的4次方，表达为：n^2=p^4，就只有正因子如下：p^0, p^1, p^2, P^3, p^4，一共5个。

就酱紫了。

Leochenrq · 发表于 2007-12-5 19:57:00

感谢二位！

我没想到还有27，够猪头了！

质数4次方思路这个太棒了，应该就是做这种题的一个一般通用方法。太感谢了！

好像可以总结为：

把整数的因子用质数表示，其因子的个数就是质数的幂加1。

谢谢sidong！

magicyu · 发表于 2007-12-5 23:24:00

完全同意LZ的总结.

比如120=2^3*3*5,那么因子数就是(3+1)(1+1)(1+1)=16.

magicyu · 发表于 2007-12-5 23:27:00

补充一下,如果一个数的因子数为奇数,则此数一定是完全平方数.

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