OG13-218这道题硬是没看懂，求解。

redredfox

List T consist of 30 positive decimals, none of which is an integer, and the sum of the 30 decimals is S. The estimated sum of the 30 decimals, E, is defined as follows. Each decimal in T whose tenths digit is even is rounded up to the nearest integer, and each decimal in T whose tenths digits is odd is rounded down to the nearest integer. If 1/3 of the decimals in T have a tenths digit that is even, which of the following is a possible value of E - S ?

I. -16
II. 6
III. 10

A. I only
B. I and II only
C. I and III only
D. II and III only
E. I, II, and III

答案是B.

fallwater

List T consist of 30 positive decimals, none of which is an integer, and the sum of the 30 decimals is S. The estimated sum of the 30 decimals, E, is defined as follows. Each decimal in T whose tenths digit is even is rounded up to the nearest integer, and each decimal in T whose tenths digits is odd is rounded down to the nearest integer. If 1/3 of the decimals in T have a tenths digit that is even, which of the following is a possible value of E - S ?

I. -16
II. 6
III. 10

A. I only
B. I and II only
C. I and III only
D. II and III only
E. I, II, and III

答案是B.

-- by 会员 redredfox (2012/7/4 23:38:22)

这道题有点复杂，就是向上取整还是向下取整的问题。


题目复述一下，集合T有30个正十进制数，且每个都不为整数。30个数和为S。
E是一个近似和，是按照以下规则对T内的数取整，并对取整结果求和：小数点后第一位（十分位）如果是偶数，那就向上取整（比它大的最小整数，比如5.23取整为6）；如果是奇数，就向下取整（比它小的最大整数，比如5.33取整为5）。
已知有1/3的数小数点后第一位是偶数，问E-S可能的值。


思路：E-S就是求近似和的误差。
设集合中元素是{a1,...a30}，S=a1+...+a30.
设b1...b30是a1...a30按照规则取整后的结果，则E=b1+...+b30.
E-S=(b1-a1)+...+(b30-a30)


记[a1]为比a1小的最大整数，方便起见再设c1=[a1]-a1，这里因为所有数字都不是整数，故-1<c1<0
则如果a1小数点后一位是偶数，那么b1=[a1]+1,b1-a1=1+[a1]-a1=1+c1
如果是奇数，那么b1=[a1],    b1-a1=[a1]-a1=c1


已知有1/3，即10个数小数点后是偶数，不失一般性设为a1...a10，
故有E-S=（1+c1）+(1+c2)+...+(1+c10)+c11+c12+...+c30=10+(c1+...+c30)
前面已经说过  -1<c1<0
所以当c1取0时，E-S最大，E-S<10+0*30=10
c1取-1时，E-S最小，E-S>10+30*-1=-20
(只是为了叙述方便，c1取不到0和-1，两边都是开区间）


所以-20<E-S<10, 选项I,II正确

redredfox

谢谢楼上的详细解释。还在研究中。

gorgeous

假设数字的表达形式为a.XXXXXXX, 如果第一个X是偶数，那么近似为a+1；如果第一个X是奇数，那么近似为a-1
（马上联想到的是要考虑X=2，8，1，9这些特殊情况）
现在有10个偶数，20个奇数，求E-S的值域

1）上限（偶数增加多，奇数尽量往少里减）
偶数中10个X=2，因此全部变成a+1，也就是总数增加10
奇数中20个X=1，所以全部变成a-1，实际总数减少20*0.1=2
所以max上线最大为8（包括8）

2）下限（偶数增加少，奇数往多里减）
偶数中10个X=8，因此a+1，实际增加为0.2*10=2
奇数中20个X=9，因此a-1，实际减少为0.9*20=18
所以max下限到2-18=-16（包括-16）

所以最后的值域是从-16到8,inclusive

我数论不好，所以只能用这种傻瓜式方法来解答~希望对你有用

企鹅帝

这道题我是考虑极端情况来做的。
A. 十分位为even时，十分位上可能出现2、4、6、8四种情况，只考虑这10个tenths digital is even 的sum时，若都为2，则E-S=8；若都为8时，E-S=2。              
B. 同理，十分位为odd，出现1、3、5、7、9五种情况，这20个odd十分位相加，极端情况，都为1时，E-S=-18;都为9时，E-S=-2

AB结合起来考虑，可能出现的情况是 -10、6、-16、0. 所以选B

笨办法，但是好想。

jorsendon

啊！！！原来这里的decimals是十进制数而不是小数；tenths digital是小数点后第一位的意思。。。

vilawe

现在清楚多了~谢谢

vicki1206

企鹅帝 发表于 2012-7-9 21:08
这道题我是考虑极端情况来做的。A. 十分位为even时，十分位上可能出现2、4、6、8四种情况，只考虑这10个ten ...

这个方法好！

xsqddzyx

这道题好难。。。。。

veenavee

完全把自己搞糊涂了。。。。。。。。。。。。。。。考试时候遇到这种题我估计就直接懵了=。=