请教一道PREP数学

applejsjs

If the integer n is greater than 1, is n equal to 2 ?

(1) n has exactly two positive factors.

(2) The difference of any two distinct positive factors of n is odd.
【答案】B
第二个条件怎么可以推出n=2呀？
我是举反例，n=12=4*3  4-3=1是奇数满足所以条件2不充分
是不是我哪个概念还是题目理解错了？？
求指点~~~

cenco

我是这么理解的：
条件2中说任意两个不同因子之差为奇数，考虑1这个因子的话，就是除了1这个因子外，只能有偶数的因子存在。那就是2^n都成立。这样条件2是不充分的。
除非条件1联合条件2，才能推出来是2。
所以我算出来的答案是C.

但是prep的答案好像不会错的吧。不知道我哪里理解错了。请大家讨论一下，也互相加深一下对概念的理解。谢谢

applejsjs

PREP详解版里的答案：
【思路】若兩數相減為奇數，則兩數必為一奇數，一偶數。
兩奇數或兩偶數相減都會是偶數。

(1) n有兩個正因數 ? 只能得知n是個質數。
(2) n = 2 時，兩因數相減的結果有 2 – 1 = 1，2 – (-1) = 3，(-2) – 1 = -3，(-2) - (-1) = -1 四種，全是奇數。
?    若n > 2，為偶數：n - 2 會是偶數。
?    若n > 2，為奇數：n - 1 會是偶數。
  由以上推理可知2是符合條件要求的唯一數字，故條件充分。

我还是想不通题目条件（2）不是说positive factors吗，怎么思路里面可以用2 – (-1) = 3，另外这个思路我不太懂，就解释~~~

littlesnake

那就不用考虑负因数的情况，直接由“若n > 2，為偶數：n - 2 會是偶數。
?                                                        若n > 2，為奇數：n - 1 會是偶數。”推理就好

cenco

恩，楼上正解。
我忽略了“任意两个因子”。
其实条件2就是告诉你：除了1这个所有书都有的因子外，只能有另外一个偶数因子，就是2。这样由条件2能推出来n=2。

小货舱

我感觉任意2个 也有可能因子数大于2 ， 3个中任意2个

小货舱

还是不理解

cenco

俺表达能力不是很强：我这么说看看你能不能明白：

任何整数都至少有一个因子：1
当一个数的任意两个因子之间的差只能是奇数的时候，那就说明除了1这个因子外，别的因子只能是偶数，且只能是2。
如果一个数多余两个偶数因子的话：比如说8有偶数因子（2,4,8），那么偶数因子之间的差就是偶数，就和条件2冲突。也就是说，条件2限定了只能有一个偶数因子存在。

不知道我说的思路清晰不。

applejsjs

懂了，感谢！！！！！！！！！！！

wumoyan

任何质数都只有两个约数  1 和本身
故 1 不充分
而对于2 而言  
有一点必须看明白   就是在所有的质数中只有2是唯一的一个既是偶数又是质数的正整数
故对于质数约数之差而言 除了2就是两个奇数相减  得到的一定是偶数
只有2 是偶数减奇数  得到奇数
故2是充分的
毫无疑问 选择B