以下是本人做的数学JJ96(已更正正确答案在1L)，因为看到很多人求助这题

boy2878

 96. 一个五边形，给出两个五边形的情况（从情况可以证明五边形是正五边形），这个五边形内切于一个圆，然后问是否可以计算出五边形的周长>26

（1）圆的半径是4

（2）五边形的任何一条对角线小于8

我选择的是D

 

 

 

以上是原JJ。

 

 

以下是解答。

首先，肯定D是正确答案。然后，第一步，圆半径4可以算出圆的周长，用3.14代π进去算，得出是25.12。然后，以下是一个定理，即圆内切多边形的周长一定小于圆的周长。这个定理用两点之间线段最短的公理可以推导出来。（然后多讲一句，在这个定理里，多边形的边数越多，其周长越接近圆，当多边形边数趋向于无穷大时候，周长趋向于等于圆的周长。）括号里的内容和本题无关，喜欢的看看，不喜欢的跳过就好了。

以上，（1）得正解。

 

然后，是（2）。首先感谢adai同学，是他让我意识到自己第二步一开始做错了，为了不误导大家我把正确的改正在这里。首先，若这个五边形为正五边形，先假设其对角线能取到最大值8，则其周长为5*sin54*8/2<5*sin60*4。以上是因为sin60大于sin54。sin60是一个大家可以知道的常数，约等于1.732/2，于是上式可以算出结果过五边形周长小于23.09小于26。于是（2）终于得正解。

至于不是正五边形的话，其在最长的对角线固定的情况下，其周长必然小于正五边形。这个定理适用于各多边形。证明过程太麻烦了，需要带多个三角函数计算，这里就不赘述了。大家可以画个简图自己看看就知道了。

总之，这题可以不需考虑图形是否为正，都可以得出D的答案，前提是题干和选项没变的话。建议可以的话，把这题答案背了吧，毕竟太过复杂。

但是，必须强调需要注意题干和选项变动！JJ有风险，应用需谨慎

 

希望我写的够清楚，能让大家看明白啊

 

 

好啦，解答完毕，希望困惑的大家能放下心里的石头，共同攻克GMAT。我也去睡了，本来要睡了，看到又有人问这题，就来发了下。。。。。大家还是要注意休息啊。我也得准备调生物钟了，17号就上战场了。

（1）圆的半径是4

（2）五边形的任何一条对角线小于8

我选择的是D

 

 

 

以上是原JJ。

 

 

以下是解答。

首先，肯定D是正确答案。然后，第一步，圆半径4可以算出圆的周长，用3.14代π进去算，得出是25.12。然后，以下是一个定理，即圆内切多边形的周长一定小于圆的周长。这个定理用两点之间线段最短的公理可以推导出来。（然后多讲一句，在这个定理里，多边形的边数越多，其周长越接近圆，当多边形边数趋向于无穷大时候，周长趋向于等于圆的周长。）括号里的内容和本题无关，喜欢的看看，不喜欢的跳过就好了。

以上，（1）得正解。

 

然后，是（2）。首先感谢adai同学，是他让我意识到自己第二步一开始做错了，为了不误导大家我把正确的改正在这里。首先，若这个五边形为正五边形，先假设其对角线能取到最大值8，则其周长为5*sin54*8/2<5*sin60*4。以上是因为sin60大于sin54。sin60是一个大家可以知道的常数，约等于1.732/2，于是上式可以算出结果过五边形周长小于23.09小于26。于是（2）终于得正解。

至于不是正五边形的话，其在最长的对角线固定的情况下，其周长必然小于正五边形。这个定理适用于各多边形。证明过程太麻烦了，需要带多个三角函数计算，这里就不赘述了。大家可以画个简图自己看看就知道了。

总之，这题可以不需考虑图形是否为正，都可以得出D的答案，前提是题干和选项没变的话。建议可以的话，把这题答案背了吧，毕竟太过复杂。

但是，必须强调需要注意题干和选项变动！JJ有风险，应用需谨慎

 

希望我写的够清楚，能让大家看明白啊

 

 

好啦，解答完毕，希望困惑的大家能放下心里的石头，共同攻克GMAT。我也去睡了，本来要睡了，看到又有人问这题，就来发了下。。。。。大家还是要注意休息啊。我也得准备调生物钟了，17号就上战场了。

（1）圆的半径是4

（2）五边形的任何一条对角线小于8

我选择的是D

 

 

 

以上是原JJ。

 

 

以下是解答。

首先，肯定D是正确答案。然后，第一步，圆半径4可以算出圆的周长，用3.14代π进去算，得出是25.12。然后，以下是一个定理，即圆内切多边形的周长一定小于圆的周长。这个定理用两点之间线段最短的公理可以推导出来。（然后多讲一句，在这个定理里，多边形的边数越多，其周长越接近圆，当多边形边数趋向于无穷大时候，周长趋向于等于圆的周长。）括号里的内容和本题无关，喜欢的看看，不喜欢的跳过就好了。

以上，（1）得正解。

 

然后，是（2）。首先感谢adai同学，是他让我意识到自己第二步一开始做错了，为了不误导大家我把正确的改正在这里。首先，若这个五边形为正五边形，先假设其对角线能取到最大值8，则其周长为5*sin54*8/2<5*sin60*4。以上是因为sin60大于sin54。sin60是一个大家可以知道的常数，约等于1.732/2，于是上式可以算出结果过五边形周长小于23.09小于26。于是（2）终于得正解。

至于不是正五边形的话，其在最长的对角线固定的情况下，其周长必然小于正五边形。这个定理适用于各多边形。证明过程太麻烦了，需要带多个三角函数计算，这里就不赘述了。大家可以画个简图自己看看就知道了。

总之，这题可以不需考虑图形是否为正，都可以得出D的答案，前提是题干和选项没变的话。建议可以的话，把这题答案背了吧，毕竟太过复杂。

但是，必须强调需要注意题干和选项变动！JJ有风险，应用需谨慎

 

希望我写的够清楚，能让大家看明白啊

 

 

好啦，解答完毕，希望困惑的大家能放下心里的石头，共同攻克GMAT。我也去睡了，本来要睡了，看到又有人问这题，就来发了下。。。。。大家还是要注意休息啊。我也得准备调生物钟了，17号就上战场了。

[此贴子已经被作者于2009/10/12 14:23:18编辑过]

chantelle

讲解得好清楚啊，多谢了，祝你17日好运

adai

以下是引用boy2878在2009/10/12 1:10:00的发言：

 96. 一个五边形，给出两个五边形的情况（从情况可以证明五边形是正五边形），这个五边形内切于一个圆，然后问是否可以计算出五边形的周长>26

（1）圆的半径是4

（2）五边形的任何一条对角线小于8

我选择的是D

以上是原JJ。

以下是解答。

首先，肯定D是正确答案。然后，第一步，圆半径4可以算出圆的周长，用3.14代π进去算，得出是25.12。然后，以下是一个定理，即圆内切多边形的周长一定小于圆的周长。这个定理用两点之间线段最短的公理可以推导出来。（然后多讲一句，在这个定理里，多边形的边数越多，其周长越接近圆，当多边形边数趋向于无穷大时候，周长趋向于等于圆的周长。）括号里的内容和本题无关，喜欢的看看，不喜欢的跳过就好了。

以上，（1）得正解。

然后，是（2）。当我们知道了第一步中的那个定理，其实就很好解了。然后，我们需要第二个定理，就是圆内最长的一条弦，就是直径。也就是说，五边形的任何一条对角线小于8的意思就是，这个圆的直径一定小于8。那么，可以算出圆的周长必然小于25.12。于是，同第一步。（2）得正解。

希望我写的够清楚，能让大家看明白啊

好啦，解答完毕，希望困惑的大家能放下心里的石头，共同攻克GMAT。我也去睡了，本来要睡了，看到又有人问这题，就来发了下。。。。。大家还是要注意休息啊。我也得准备调生物钟了，17号就上战场了。

（1）圆的半径是4

（2）五边形的任何一条对角线小于8

我选择的是D

以上是原JJ。

以下是解答。

首先，肯定D是正确答案。然后，第一步，圆半径4可以算出圆的周长，用3.14代π进去算，得出是25.12。然后，以下是一个定理，即圆内切多边形的周长一定小于圆的周长。这个定理用两点之间线段最短的公理可以推导出来。（然后多讲一句，在这个定理里，多边形的边数越多，其周长越接近圆，当多边形边数趋向于无穷大时候，周长趋向于等于圆的周长。）括号里的内容和本题无关，喜欢的看看，不喜欢的跳过就好了。

以上，（1）得正解。

然后，是（2）。当我们知道了第一步中的那个定理，其实就很好解了。然后，我们需要第二个定理，就是圆内最长的一条弦，就是直径。也就是说，五边形的任何一条对角线小于8的意思就是，这个圆的直径一定小于8。那么，可以算出圆的周长必然小于25.12。于是，同第一步。（2）得正解。

希望我写的够清楚，能让大家看明白啊

好啦，解答完毕，希望困惑的大家能放下心里的石头，共同攻克GMAT。我也去睡了，本来要睡了，看到又有人问这题，就来发了下。。。。。大家还是要注意休息啊。我也得准备调生物钟了，17号就上战场了。

（1）圆的半径是4

（2）五边形的任何一条对角线小于8

我选择的是D

以上是原JJ。

以下是解答。

首先，肯定D是正确答案。然后，第一步，圆半径4可以算出圆的周长，用3.14代π进去算，得出是25.12。然后，以下是一个定理，即圆内切多边形的周长一定小于圆的周长。这个定理用两点之间线段最短的公理可以推导出来。（然后多讲一句，在这个定理里，多边形的边数越多，其周长越接近圆，当多边形边数趋向于无穷大时候，周长趋向于等于圆的周长。）括号里的内容和本题无关，喜欢的看看，不喜欢的跳过就好了。

以上，（1）得正解。

然后，是（2）。当我们知道了第一步中的那个定理，其实就很好解了。然后，我们需要第二个定理，就是圆内最长的一条弦，就是直径。也就是说，五边形的任何一条对角线小于8的意思就是，这个圆的直径一定小于8（错了）。那么，可以算出圆的周长必然小于25.12。于是，同第一步。（2）得正解。

希望我写的够清楚，能让大家看明白啊

好啦，解答完毕，希望困惑的大家能放下心里的石头，共同攻克GMAT。我也去睡了，本来要睡了，看到又有人问这题，就来发了下。。。。。大家还是要注意休息啊。我也得准备调生物钟了，17号就上战场了。

  

（内接于圆的）正五边形的对角线<圆的直径，                                                                 而 条件(2)是     正五边形的对角线<8；                                                                               结论                    推不出圆的直径<8的结果；

关于96题，的确是选D

我的计算过程如下：

若是正五边形，条件(2)"对角线<8" 可得：

设正五边形的边长为x，对角线长为a；由正五边形的性质可得其内角度数为108；

于是有 sin54=a/2x=>x=a/2sin54

正五边形的周长为5x=(5/2sin54)*a, 但是a的值域为(0,8)，且正五边形的周长随a的增大而增大，我们就计算两头的极限情况

a无限趋近0，则周长趋于0<26

a无限趋近8，则周长趋于(5/2sin54)*8=20/sin54=20/0.809>26 （此处我们只能计算到底了，因为吧sin45和sin60带入(5/2sinX)*8？26得出的结果相反）

于是条件（2）充分

于是这题选D

我比较担心的是如何能看出和证明这个五边形是正五边形？ 若不是正五边形，答案是E？

内接与圆的非正五边形的周长一定大于正方形的周长吗？希望NN来说说，若是，（1）还是充分的，(2)我觉得就无法计算了

关于96题变体（与20比），我觉得应该选A
若是正五边形，条件(2)"对角线<8" 可得：

设正五边形的边长为x，对角线长为a；由正五边形的性质可得其内角度数为108；

于是有 sin54=a/2x=>x=a/2sin54

正五边形的周长为5x=(5/2sin54)*a, 但是a的值域为(0,8)，且正五边形的周长随a的增大而增大，我们就计算两头的极限情况

a无限趋近0，则周长趋于0<20

a无限趋近8，则周长趋于(5/2sin54)*8=20/sin54>20 （此处我们只需要知道sin54<sin90=1就好了，不用计算到底）

于是条件（2）不充分

这种情况下这题选A

carriezhao

楼主~问一个很弱的问题~圆的周长是25.12<26,那么五边形周长也小于26啊~怎么推出来的大于？

谢谢回答！

boy2878

以下是引用adai在2009/10/12 1:35:00的发言：

关于96题，的确是选D

我的计算过程如下：

若是正五边形，条件(2)"对角线<8" 可得：

设正五边形的边长为x，对角线长为a；由正五边形的性质可得其内角度数为108；

于是有 sin54=a/2x=>x=a/2sin54

正五边形的周长为5x=(5/2sin54)*a, 但是a的值域为(0,8)，且正五边形的周长随a的增大而增大，我们就计算两头的极限情况

a无限趋近0，则周长趋于0<26

a无限趋近8，则周长趋于(5/2sin54)*8=20/sin54=20/0.809>26 （此处我们只能计算到底了，因为吧sin45和sin60带入(5/2sinX)*8？26得出的结果相反）

于是条件（2）充分

于是这题选D

我比较担心的是如何能看出和证明这个五边形是正五边形？ 若不是正五边形，答案是E？

内接与圆的非正五边形的周长一定大于正方形的周长吗？希望NN来说说，若是，（1）还是充分的，(2)我觉得就无法计算了

关于96题变体（与20比），我觉得应该选A
若是正五边形，条件(2)"对角线<8" 可得：

设正五边形的边长为x，对角线长为a；由正五边形的性质可得其内角度数为108；

于是有 sin54=a/2x=>x=a/2sin54

正五边形的周长为5x=(5/2sin54)*a, 但是a的值域为(0,8)，且正五边形的周长随a的增大而增大，我们就计算两头的极限情况

a无限趋近0，则周长趋于0<20

a无限趋近8，则周长趋于(5/2sin54)*8=20/sin54>20 （此处我们只需要知道sin54<sin90=1就好了，不用计算到底）

于是条件（2）不充分

这种情况下这题选A

你好，首先，我的证明过程不要求这个五边形是正五边形，我整篇中也没讲它是啊。。。呵呵。你没注意到，我写出了一个定理，就是圆内最长的弦就是它的直径，也就是说，在圆内你能作出的最长的线段，就是圆的直径了。那么，内切于圆的五边形的对角线长度最长也就是等于这个圆的直径，当且仅当这条对角线过圆心的时候成立，那么，它的对角线小于八，就可以得出这个圆的直径也必然小于八了

boy2878

以下是引用adai在2009/10/12 1:35:00的发言：

关于96题，的确是选D

我的计算过程如下：

若是正五边形，条件(2)"对角线<8" 可得：

设正五边形的边长为x，对角线长为a；由正五边形的性质可得其内角度数为108；

于是有 sin54=a/2x=>x=a/2sin54

正五边形的周长为5x=(5/2sin54)*a, 但是a的值域为(0,8)，且正五边形的周长随a的增大而增大，我们就计算两头的极限情况

a无限趋近0，则周长趋于0<26

a无限趋近8，则周长趋于(5/2sin54)*8=20/sin54=20/0.809>26 （此处我们只能计算到底了，因为吧sin45和sin60带入(5/2sinX)*8？26得出的结果相反）

于是条件（2）充分

于是这题选D

我比较担心的是如何能看出和证明这个五边形是正五边形？ 若不是正五边形，答案是E？

内接与圆的非正五边形的周长一定大于正方形的周长吗？希望NN来说说，若是，（1）还是充分的，(2)我觉得就无法计算了

关于96题变体（与20比），我觉得应该选A
若是正五边形，条件(2)"对角线<8" 可得：

设正五边形的边长为x，对角线长为a；由正五边形的性质可得其内角度数为108；

于是有 sin54=a/2x=>x=a/2sin54

正五边形的周长为5x=(5/2sin54)*a, 但是a的值域为(0,8)，且正五边形的周长随a的增大而增大，我们就计算两头的极限情况

a无限趋近0，则周长趋于0<20

a无限趋近8，则周长趋于(5/2sin54)*8=20/sin54>20 （此处我们只需要知道sin54<sin90=1就好了，不用计算到底）

于是条件（2）不充分

这种情况下这题选A

你好，首先，我的证明过程不要求这个五边形是正五边形，我整篇中也没讲它是啊。。。呵呵。你没注意到，我写出了一个定理，就是圆内最长的弦就是它的直径，也就是说，在圆内你能作出的最长的线段，就是圆的直径了。那么，内切于圆的五边形的对角线长度最长也就是等于这个圆的直径，当且仅当这条对角线过圆心的时候成立，那么，它的对角线小于八，就可以得出这个圆的直径也必然小于八了

boy2878

以下是引用carriezhao在2009/10/12 3:10:00的发言：

楼主~问一个很弱的问题~圆的周长是25.12<26,那么五边形周长也小于26啊~怎么推出来的大于？

谢谢回答！

你好，关于DS题，比如这题，它问的是，以下数据能不能推断出，五边形周长是否大于，那么，小于的话，也是推出结论的一种，并不要求一定是求出答案是大于的。如果你两个选项一个得出大于一个得出小于，一样是两个数据都充分的意思

adai

以下是引用boy2878在2009/10/12 10:36:00的发言：

你好，首先，我的证明过程不要求这个五边形是正五边形，我整篇中也没讲它是啊。。。呵呵。你没注意到，我写出了一个定理，就是圆内最长的弦就是它的直径，也就是说，在圆内你能作出的最长的线段，就是圆的直径了。那么，内切于圆的五边形的对角线长度最长也就是等于这个圆的直径，当且仅当这条对角线过圆心的时候成立，那么，它的对角线小于八，就可以得出这个圆的直径也必然小于八了

我们都知道直径是最长的弦

现在的情况是：

正五边形or五边形的对角线（某条弦）<圆的直径，                                                                

而条件(2)是五边形的对角线（某条弦）<8；                                                                              

                     反正我是推不出圆的直径<8的结果了...

salina0806

还是不明白条件2哈！

圆内切的五边形的对角线都是小于或等于圆的直径的。现在只知道这条对角线小于8，是推不出直径小于8的！只有在对角线等于直径的特殊情况下才能推出 直径小于8。

其他情况只能推出：对角线小于8，对角线小于直径，推不出直径与8的关系！

salina0806

而且取特例，如果为正五边形，而且此正5边形的对角线无线趋近于8，可以取7.9999，此时可以一目了然圆的直径大于8。