求教一道费费数学题 万分感谢

mnmicy

求教此题怎么做：

有一个长方形内接在一个圆内，半径为r，长方形不是正方形，问长方形的周长L可能是多少？


答案是4r<L<4倍的根号2在乘r.  万分感谢！

hustlewindy

因为圆内接长方形的对角线必过圆心，所以内接长方形的两个边长（设为x和y),就可以得出 x^2+y^2=4r^2，而长方形周长为2（x+y）,那么问题就可以转化成：
已知x^2+y^2=4r^2,求x+y的极值问题。
因为(x^2+y^2)<（x+y)^2 所以x+y>根号下（4r^2）,化简得（x+y）>2r;
因为（x+y)^2=x^2+y^2+2xy<2(x^2+y^2) （因为2xy<x^2+y^2）,所以x+y<根号下（8r^2）,化简得（x+y）>2倍根号2再乘以r
周长再乘以2，所以2（x+y）范围就是(4r,4倍根号2再乘以r)。

mnmicy

hustlewindy 发表于 2019-1-23 10:42
因为圆内接长方形的对角线必过圆心，所以内接长方形的两个边长（设为x和y),就可以得出 x^2+y^2=4r^2，而长 ...

万分感谢！！！