数学每日总结

珍妮王小钰

~~
PS小学奥数
DS（就那种逻辑题 不难）
四块：数论(理) : 数的性质（余数整除，奇偶性，质数合数）；代数（方程组）；几何；文字题（应用题）：概率排列。

珍妮王小钰

1 算术

最快的是40分钟做完 DS:数学加逻辑

大量做题。。练习算术部分 做模考直到没有错题！

讨论 类比初等数学 想到点子上 归根接底要多做题才敏感，大量练！

质数是2

至少3个因子数divisors factors合数（最小4）

gmat数学 if a and b are positive integers such that a-b and a/b are both even integers,which of the following must be an odd integer?
a/2 b/2 a+b/2 a+2/2 b+2/2

根据a-b为偶数，可以知道ab要么都是偶数，要么都是奇数，一奇一偶肯定减不出偶数；根据a/b为偶数，可以知道ab都是偶数，都是奇数不可能除出偶数。然后就可以开始使用排除法做了呗。
假设a=8，b=4，A、B、C选项都是偶数，排除；假设a=4，b=2，E选项是偶数，排除。所以正确答案是D，(a+2)/2一定是奇数。
这是为什么呢？(a+2)/2可以分解为a/2 +1,1是奇数，而只要a≠2，a/2就是偶数，奇数加偶数一定等于奇数。a肯定不能等于2，a如果等于2，那么a-b和a/b就没有办法保证都是偶数了。所以这个选项一定是奇数。
对于数学的话，其实也没有什么很好的办法，因为考点多而杂，所以最好的办法就是多做题，做题做得多了，就有解题的感觉了。另外就是考试之前一定要看机经，很有用的。

1. integer (whole number): 整数

* positive integer：正整数，从1开始，不包括0。

2.  odd & evennumber 奇数与偶数

* 凡整数均具有奇偶性，如－1是奇数，0是偶数。

* 奇+奇=偶，奇+偶=奇…

  若干个整数相乘，除非都是奇数，其乘积才会是奇数…

最小的正的偶数是2啊，所以E错了啊

简化思维： a,b都是偶数，a为两个偶数的乘积，所以a为4的倍数！4M！这里没有考虑到。所以是一个偶数加1 是odd

1.If M is the least common multiple of 90,
196,and 300,which of the following is not a factor of (A)600 (B)700 (C)900
(D)2100 (E)4900

2.1）最小公倍数，90：3.3.2.5。196：2.2.7.7；300：2.2.3.5.5.
所以最小公倍数2.2.3.3.5.5.7.7
600显然不是。因为10.10.6有3个2（对 第二次做对了）

珍妮王小钰

算术里因子和质因子&分解质因子来快速计算因子总数3. prime number & composite number 质数与合数
* A prime number is a positive integer that has exactly two different positive divisors,1 and itself.  2,3,5,7,11,13，17,19,23,29
* A composite number is a positive integer greater than 1 that has more than two divisors. 4
* The numbers 1 is neither prime nor composite, 2 is the only even prime number.
4. factor(divisor) & prime factor 因子和质因子
* 一个数能被哪些数整除，这些数就叫它的因子（因数、约数）。
* 因子里的质数叫质因子（数）。

例1： If n=4p, where p is a prime numbergreater than 2, how many different positive even divisors does n have,  including n?

P大于二  偶数是除了一和三以外都是偶；N=4P,, 1,4p,2,2p,4,p. 3对6个，，p是质数>2(所以P是奇数！！！）去掉1，p. 4个！

或者用代数法 p=3则N=12,12的因子1234612 共6个 （粗心第三次）

---

例2： If the integer n has exactly three[url=] positive divisors[/url],including 1 and n, how many positive divisors does n2 have?

正因子： 1，M,N 3个说明N是一个平方数！！N2:    1，m, m2,m3,m4

代数法：

关键是找到一个满足题重条件的数，如4，若n=4,则n^2=16,16的因子是1,2,4,8,16 共5个

例3：1225有几个因子？1225=5^2û7^2

结论：！！当数字较大时，若问它有几个因子，则把它分解质因数，完全分解成质数相乘的形式，设设这个数分成了a^mb^n的形式，则他的因子个数是(m+1)(n+1);设这个数分解成了a^mb^nc^k的形式，则因子总是是(m+1)(n+1)（k+1）

拓展 1015=5û7û29, 因子总数是（1+1）（1+1）（1+1）=8

例：What is the greatest prime factor of 2^100 - ^296?

(A)2    (B) 3     (C) 5   (D) 7    (E) 11

2^100-2^96=2^96û3û5,所以2^100-2^96的质因子是2,3,5所以选C

错题点：我做到最后一步 觉得是15不对 因为质因子只有1和本身

例：A positive integer n is said tobe “prime-saturated” if the product 乘机of all the different positiveprime factors of n is less than the square root of n. 10.多 What is the greatest two-digit prime-saturated integer?

引号的词不管，看解释

(A)99    (B) 98    (C) 97   (D) 96    (E) 95

99=3^2û11, 3û11=33,33大于99的平方根，所以99不满足要求同样 96=2^5û3，2û3=6. 6小于96的平方根，所以选D

珍妮王小钰

今日需要重新做的题：
1 if a and b are positive integers such that a-b and a/b are botheven integers,which of the following must be an odd integer?
a/2 b/2 a+b/2 a+2/2 b+2/2
2 1.If M is the least common multiple of 90,
196,and 300,which of the following is not a factor of (A)600 (B)700 (C)900
(D)2100 (E)4900
3 If n=4p, where p is a prime numbergreater than 2, how many different positive even divisors does n have,  including n?
4  If the integer n has exactly three[url=] positive divisors[/url],including 1 and n, how many positive divisors does n2 have?
5 1225有几个因子？
6 What is the greatest prime factor of 2100 - 296?
(A)2    (B) 3     (C) 5   (D) 7    (E) 11
7 A positive integer n is said tobe “prime-saturated” if the product 乘机of all the different positiveprime factors of n is less than the square root of n. 10.多 What is the greatest two-digit prime-saturated integer?
引号的词不管，看解释
(A)99    (B) 98    (C) 97   (D) 96    (E) 95

珍妮王小钰

5. the greatest common divisor (GCD)& the least   common multiple(LCM) 最大公约数和最小公倍数

例：If M is the least common multiple of 90, 196, and 300, which of the following is NOT a factor of M?
(A) 600    (B)700    (C) 900     (D) 2,100    (E) 4,900
最小公倍数，90：3.3.2.5。196：2.2.7.7；300：2.2.3.5.5.
所以最小公倍数2.2.3.3.5.5.7.7
600=2 2 2 3 5 5 所以600不是M的因子
例：What is the lowest positive integer that is divisible by each of the integers 1 through 7,inclusive?1-7!
(A) 420    (B) 840   (C) 1,260   (D) 2,520   (E) 5,040
分析：能被1到7个数都整除说明1到7都是这个数的因子，也就是说我们所求这个数是1到7这7个数的倍数，即求1到7的最小公倍数。
用刚才讲过的方法求这7个数的最小公倍数，求得这个数是2 2 357=420
6. decimals & fractions 小数和分数
*相关词汇：reaccuring decimal ; terminating decimal ; numerator分子 ; denominator分母 ; improper fracion假分数10/9 ; mixed number 2又1/7
*整数位与分位： 后面加s的是整数位（小数点前面的某位），加th或ths的是分位（小数点后面的某位），如tens是十位数，而tenth是十分位
*What is the fractional part of ….这样的表达法意为“谁 的几分之几”
*小数和分数的互相转换：
例1： 0．373737…=? (将其转换成一个分数)分析
设X=0.373737…1 则100x=37.3737..2
2-1,得 99x=37，所以x=37/99
例2：Which of the following fractions has a decimal equivalent that is a terminating decimal?
(A) 10/189    (B) 15/196    (C) 16/225    (D) 25/144    (E) 39/128
分析：这样的分数可以转化为有限小数：分母分解质因数以后，只有2或者5作为因子。如果出现2和5以外的因子，那么这样的分数就是无限小数。E
7.  consecutive numbers 连续数
例1：In an increasing sequence of 10 consecutive integers, the sum of the first 5 integers is 560. What is the sum of the last 5 integers in the sequence?
(A) 585  (B) 580  (C )575  (D)570  (E) 565
我的错:每个只加了1

分析：由于是10个连续数，所以我们可以把它们分成前后两组数，前五个和后五个有一一对应的关系。后面五个数的和比前面五个数的和大25.560+25=585，所以选A.
例2：If n is an integer greater than 6, which of the following must be divisible by 3?
(A) n(n+1)(n-4)    (B) n(n+2)(n-1)    (C) n(n+3)(n-5)   
(D) n(n+4)(n-2)    (E) n(n+5)(n-6)
分析：这个题如果我们用代数法也是可以的，但并不严密。如把n=7代入，则ABE都是正确的。我们用如下比较稳妥的方法：
因为n(n+1)(n+2)是三个连续整数相乘，而三个连续整数里肯定有一个是3的倍数，所以n, n+1,n+2中有一个是3的倍数。
如果n或n+1是3的倍数，则A选项正确；
如果n和n+1不是3的倍数，则n+2是3的倍数，n+2-6=n-4也是3的倍数，则A选项也正确。
8.  divisibility & remainder整除及余数问题
* 一个数是否能够被5整除，只要看它的最后一位（是0或5）。
* 一个数是否能够被4整除，只要看它的后两位（是否是4的倍数）。
* 一个数是否能够被8整除，只要看它的后三位（是否是8的倍数）。
* 一个数能否被3整除，取决于各位之和能否被3整除。
* 一个数能否被9整除，也取决于各位之和能否被9整除。
*  0能被所有数整除。
* 余数包括0，如24除以6，商为4余数为0。
例：1912 257的个位数字是几？【循环】
分析：答案是2. 尾数问题不用死记硬背，只要找到循环就容易了。
1912^1的尾数是2 ^2的尾数是4， 1912^3的尾数是8,1912^4的尾数是6,1912^5的尾数是2，所以它的尾数存在2,4,8,6的循环，257=464+1，所以1912 ^257
2486
拓展1917^ 258的个位数字是几？
分析：答案是9. 258=464+2， 1917^1尾数是7 ^2尾数是9，^3尾数是3，^4的尾数是1,1917^5的尾数是7。
例：If s and t are positive integers such that  ,which of the following could be the
remainder when s is divided by t?
(A) 2    (B) 4    (C) 8   (D) 20   (E) 45
商：64
分析：余数是商取剩下的数，即0.12t,写成分数的形式就是3/25 t. 无论t取多少，最终只能把25消掉，分子3一直保留，所以最终结果一定是3的倍数，因此选E

我懂了因为 s= t 分数 而S是整数
9.  数字问题
例：1001位数字组成的数，任意相邻的两位数字组成的数能被17或23整除，这个1001位的数字以6开头，则它的最后六位是（  ）
分析：这个1001位数字以6开头，则第二位数字可能是8或9，若第二位数字是8，则第三位数字是5，第四位数字是1，第五位数字是7，不能继续往厚些，所以第二位数字不能是8；
若第二位数字是9， 则第三位数字是2，第四位数字是3，第五位数字是4，第六位数字是6，于是6,9,2,3,4五个一循环，1001位数字存在200个这样的循环，于是后6位是692346.

10.  算术部分的几种常用方法
*参数法
例：两个两位数个位与十位恰好颠倒，问下面哪个不能是两数之和？
A.181，B.121，C.77，D.132，E.154
解法：设两数分别为ab和ba，则(ab)+(ba)=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)，即和必为11的
倍数，答案为A。
总结参数发就是设字母列式子，字母本身不需要求值，起到过度的作用参数发的好处是把式子列出来后结论明确，一目了然，清楚可靠。
*代数法
*试错法
例：
□△
×  △□
The product of the two-digit numbers above is the three-digit number □◇□, where □,△,and◇ are three different nonzero digits. If □×△＜10, what is the two-digit number □△?
(A) 11    (B) 12    (C) 13    (D) 21    (E) 31

珍妮王小钰

第二章 代数

代数主要有四部分的内容：方程，不等式，数列和集合。
1．        Quadratic equations: 一元二次方程
ax2+bx+c=0
  △>0：2个；△ =0两个一样； △<0 没有解
ax2+bx+c=0

但一般更常用的是因式分解法： 一元二次方程对应的函数图像抛物线。抛物线与X轴有两个实数解；若没有交点，则无解。
x2-2x-3=0  (x-3)(x+1)=0  x1=3, x2=-1
2.  Simultaneous linear equations: 多元一次方程组
* 基本方法：消元法。
例1：3x+y=5    (1)
     2x+y=4    (2)
     (1)－(2), 消去y, 得x=1,y=2
* 注意：并不是任何二元一次方程组都有唯一解。
   例2:         3x+y=5    (1)
               6x+2y=10  (2)
  上述方程有无穷多组解。
  因此，方程的数量须等于未知数的数量，此时多元一次方程有唯一的一组解。
3. Simultaneous quadratic equations: 二元二次方程组
一般只考如下形式：
a1x+b1y=c1                (1)
a2x2+b2x+a3y2+b3y=c2   (2)
即其中一个方程为一次。这种形式等价于一元二次方程，把（1）代入（2）即可。
4. Inequalities: 不等式
*不等式部分不会像中国高考那样考推导、证明，注意两边乘以负数变号等最基本原则即可。
5. Arithmetic sequence: 等差数列
an=a1+(n-1)d
sn=(a1+an)n/2
n=(an-a1)/d +1
6．Geometric sequence: 等比数列
an=a1qn-1                                                            

当∣q∣<1时，  
例：  1
例： 0．373737…=? (将其转换成一个分数)
我们可以用数列来解
*小数和分数的互相转换：
例1： 0．373737…=? (将其转换成一个分数)分析
设X=0.373737…1 则100x=37.3737..2
2-1,得 99x=37，所以x=37/99

用数列做：0.373737…=0.37+0.0037+0.000037+…, 可以看成首项是0.37. 公比是0.01，并且是无穷多项的等比数列求和，用前面说过的公式即可求出解。
7．Sets: 集合
例1：全班50个人，选音乐课的有20人，选体育课的有18人，两课都选的有5人，问两课都没选的几人？
分析：我们画图分析即可列出算式：50-20-18+5=17，即两课都没选的是17人。
例2： A marketing firm determined that, of 200 households surveyed, 80 used neither Brand A nor Brand B soap, 60 used only Brand A soap, and for every household that used both brands of soap, 3 used only Brand B sop. How many of the 200 households surveyed used both brands of soap?
读题问题：for every household that used both brands of soap, 3 used only Brand B sop 两个都用用B是1:3

(A) 15   (B)20   (C)30   (D)40   (D)45
分析： 如图长方形代表全部的200个家庭，两个圆分别表示用A和用B的，根据题意，两个牌子都不用的是80家，只用A的60家，两个牌子都用的设为X, 则只用B的有3x家，列出式子，得80+60+x+3X=200, 解得x=15.
例3：五个人排队，甲不能在首位，乙不能在末位，有几种不同的排法？
集合加排列组合
分析： p 55 =120, 即五个人排队所有情况共有120种。
我们要排除的是甲在首位和乙在末位的情况。甲在首位的情况有p 44= 24种，乙在末位的情况也是有p44=24种，甲在首位且乙在末位的情况是有p33 =6种。
于是根据画图分析可列出式子，
P55-p44-p44+p33=78. 78种排法

珍妮王小钰

例： 0．373737…=? (将其转换成一个分数)

例1：全班50个人，选音乐课的有20人，选体育课的有18人，两课都选的有5人，问两课都没选的几人？

例2： A marketing firmdetermined that, of 200 households surveyed, 80 used neither Brand A nor BrandB soap, 60 used only Brand A soap, and for every household that used bothbrands of soap, 3 used only Brand B sop. How many of the 200 householdssurveyed used both brands of soap?

(A) 15   (B)20  (C)30   (D)40   (D)45

例3：五个人排队，甲不能在首位，乙不能在末位，有几种不同的排法？

珍妮王小钰

几何重做题目
例：If n distinct planes intersect in a line, and another line L intersects one of these planes in a single point, what is the least number of these n planes that L could intersect?
(A)n    (B) n－1    (C) n－2    (D) n/2    (E)(n－1)/2

珍妮王小钰

第三章 几何

1．Lines & planes 直线与平面
* 两直线平行并为第三条直线所截后，相应角的关系。
* 直线与平面的关系。
例：If n distinct planes intersect in a line, and another line L intersects one of these planes in a single point, what is the least number of these n planes that L could intersect?
(A)n    (B) n－1    (C) n－2    (D) n/2    (E)(n－1)/2
分析：本题关键是平面和直线都具有无限性。除了与L平行的平面外，其他的平面都和L相交，所以选B.
美国算术题带有智力游戏的感觉看你有没有想到点子上。美国的几何题没有那么多证明推导的技巧，多练习。
平面几何:
2.  Triangles 三角形
* 勾股定理：a2+b2=c2
* 构成三角形的条件：两边之和大于第三边。
* 三角形内部边和角的关系：大边对大角。
3.  Quadrilaterals 四边形                                 
* parallelogram(平行四边形) : 面积=a×h; 周长=2（a+b）
* rectangle(矩形) : 面积=a×h; 周长=2（a+b）
* square(正方形) : 面积=a2  ; 周长=4a
* trapezoid(梯形) : 面积=（a+b）×h/2
4.  Circles 圆
* 面积=πR2
* 周长=2πR
5.  Polygons多边形
* 多边形内角和：（n-2）180º
6.  Rectangular Solids 长方体
* 体积=a×b×c
* 表面积=2（a×b+b×c+c×a）
7.  Cubes 正方体
* 体积=a3
* 表面积=6a2
8.  Cylinders圆柱
* 体积=πR2h
* 表面积=2πR2+2πR×h
例：一个圆锥内接于一个半球，圆锥的底面与半球的底面重合，则圆锥的高与半球的半径的比是多少？
1:1
9. Coordinate Geometry 解析几何
Coordinate 坐标
* 直线的标准方程：y=kx+b ；即斜截式，其中k为斜率slope，b为y轴截距y-intercept
* 斜率的计算：K= (Y2-Y1)/( X2-X1)  K小平缓 大陡峭
* 两点或一点加斜率确定一条直线。
* 两直线垂直，其斜率的乘积为－1。
补充：X^2+Y^2=4表示圆，表示以原点为圆心，半径为2的圆
圆的标准方程：（X-a）^2+（y-b）^2=r^2, 表示以（a,b）为圆心坐标，r为半径的圆

珍妮王小钰

第四章统计

1. arithmetic mean (average) 算术平均值

E=file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif

2. median 中位数

* The median is themiddle value of a list when the numbers are in order.

* 先排序，后取中。

3. mode 众数

* The mode of alist of numbers is the nmuber that occurs most frequently in the list.

* A list of numbers may have more than one mode.

4.expectation 期望

* 期望就是算术平均值。E

松獭n

5. deviation偏差

di=ai-E

6. variance 方差

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif

7. standarddeviation 标准差

file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif标准差的大小反映的是数据的波动性。标准差越大，说明这组数据越参差不齐，越高低起伏；标准差越小，说明这组数据越接近，越统一，越整齐

反应的是数字的波动性，标准差越大数字越高地起伏。

例：Ⅰ.72,73,74,75,76

Ⅱ.74,74,74,74,74

Ⅲ.62,74,74,74,89

The data sets Ⅰ,Ⅱ,and Ⅲabove are ordered from greatest standard deviation to least standard deviationin which of the following ?

(A) Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ    (B) Ⅰ, Ⅲ,Ⅱ  (C) Ⅱ, Ⅲ, Ⅰ  (D) Ⅲ, Ⅰ,Ⅱ   (E) Ⅲ,Ⅱ, Ⅰ

8. range 范围

* 最大数减去最小数所得的差就是该组数据的范围。3 2 4 5 1 range是4

例1：150, 200,250, n

Which of the followingcould be the median of the 4 integers listed above?

   Ⅰ. 175         Ⅱ. 215        Ⅲ. 235

分析：这四个数我们先排序，显然当n>= 250的时候，中位数最大，此时排序为150，200,250，即中位数是225。当n<=150中位数最小，此时排序为n, 150, 200, 250，中间的两个数是150和200，即中位数是175.即中位数的最大值和最小值分别是225和175，通过调整n的大小，可以取到最大值和最小值之间的任何数。

(A) Ⅰonly    (B) Ⅱonly   (C) Ⅰand Ⅱonly   (D) Ⅱand Ⅲ only  (E) Ⅰ,Ⅱ,and Ⅲ

例2：The least and greatest numbers in a list of 7 real numbers are 2 and20,respectively. The median of the list is 6,and the number 3 occurs most oftenin the list. Which of the following could be the average of the numbers in thelist?

   Ⅰ. 7        Ⅱ. 8.5        Ⅲ. 10.5