余数题通解助您彻底解决一类题目

edmundshi

不好意思，论坛里有上传限制，用word编辑的公式变成图像后太多了传不上来，截了个屏给大家看看～

[attachimg]72212[/attachimg]

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特别说明：一种“个位循环”的解法是错误的，用该法做题很危险。原因见15楼。

在此，贴出特例：

4^50除以3的余数。

解：4^n的个位是以4、6两个数交替的周期为2的循环，根据个位循环法：4^50个位数为6，显然6能被3整除，所以余数“似乎”该为0.被3整除了？！但是4^50=2^100，根本没有3这个因子，不可能被3整除！

事实上：

4^50=(3+1)^50=>1^50除3的余数？=>余1

最后附上word原稿，有需要的TX可以下载，密码是：华，盛（粘贴到密码框）：

39楼有关于+1问题的更新。

[此贴子已经被作者于2009/9/10 16:53:47编辑过]

edmundshi

以下是引用snowwarm在2009/8/24 0:22:00的发言：
赞～～～

不过我通常的算法是计算几下，因为一般都是循环的……

你这个很有理论基础哈～

个位循环的方法是错的，虽然好多碰巧都能做对。
因为个位循环的hidden premise.是前面的从十位开始的位数组成的数能被该除数整除。
显然，这个隐藏前提错误。在梦8曾经和人碰到一道用“个位循环”做得的答案是错误的。暂时想不出来哪道题具体是什么了

edmundshi

以下是引用angelwds在2009/8/24 9:03:00的发言：

还是不太明白。。。这个错误的前提是什么情况

尤其是这句话。。。

从十位开始的位数组成的数能被该除数整除

就是～

说比如j^n=abcdefgh

在这里个位循环法只是看h除以k的余数。

abcdefgh可以看成：abcdefg0+h，如果只看h除以k的余数，那么就意味着abcdefg0(这就是“十位开始的位数组成的数”的意思)能被k整除。

显然，abcdefg0被k整除不是必然。

[此贴子已经被作者于2009/8/24 9:25:44编辑过]

edmundshi

以下是引用salad1989在2009/8/24 9:32:00的发言：
lz甚有才，考完了还造福cd后人

从今天开始move on了，进行文书的准备。
没事上CD侃会～

edmundshi

好像我的例子举得有点问题。

这让很多G友都误解为一定要化为+1……

如果q^n都能化为k*p+1的形式，那大家直接猜余数为1好了……

我的想法是：化成“比该除数小的数”就行了

（注意，是小于除数的数注意该数的次幂！34L以及和想法相同的的同学）

P.S.

觉得这个帖子好的话，希望帮忙顶起，让它帮助更多的TX。

CD数学区的发帖量太大，帖子很快就沉了。你的3秒钟可以节约别人很多时间。

edmundshi

以下是引用sunjin1988在2009/10/21 0:30:00的发言：

请问大家如何解决这种问题

9. 2N/10的余数
                

(1) N=4x
                

(2) N=10x

用这种方法 ？？？？？？？

2^N的尾数是是一个周期为4的循环。eg: 个位(2^1)=2，个位(2^2)=4，个位(2^3)=8，个位(2^4)=6。

                                                               个位(2^5)=2，个位(2^6)=2，个位(2^7)=2，个位(2^8)=2。

所以2^N总可以写成2^(4*k+m)的形式，其中m=0,1,2,3。即N=4*k+m，其中m=0,1,2,3。

N=4x => m=0 此时2^N的个位总是2，所以2^N/10的余数必为2.

N=10x 推不出任何周期性规律。

所以此题选A。

 

哈哈，想不到我的帖子这么受欢迎啊。今天闲来无事，到寂静区搀和搀和，顺便帮一下这题的解答。