关于GMAT数学中求余数问题的一个简单方法-增强版

知之为之之

个人建议：在您看这份文档的同时，准备一支笔，一张草稿纸。如果看到例题，跟我的步骤，一步一步地同时写下来，这样比光看屏幕，要理解得更快！


我在自己的讨论稿文档里，求余的时候，都会用到mod这个运算符。
mod：模。意思就是求余数。
比如说：5 mod 3=2， 100 mod 11=1
读作：五模三余二，一百模十一余一

这是标准的公式化写法，大家可能不太熟悉，但是知道意思了，其实也很简单。引入Mod，主要是可以用数学公式来写，而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题，也比较容易表达。
在讲如何求余之前，先来普及一下余数的一些性质。

首先就是余数的加减法：比如说100除以7余2，36除以7余1。那么100+36除以7余几呢？或者100-36除以7余几呢？很显然，只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。通过这个例子可以很明显的看出来，余数之间是可以加减的。
总结写成书面的公式的话，就是：(M＋N) mod q=(（M mod q）+（N mod q）) mod q

然后我们再看余数的乘法：我们继续来看上面这个例子，如果要求100*36除以7的余数是多少，该怎么求呢？
我们不妨来这样做：
100=98+2=7*14+2，36=35+1=7*5+1；
这时100*36=（7*14+2）（7*5+1）=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1
很明显，100*36除以7的余数就等于2*1=2
于是我们可以得出这样的一个结论：求M*N除以q的余数，就等于M除以q的余数 乘以 N除以q的余数。

类似的，如果是求N^m 除以q的余数呢？只要我们将N^m=N*N*N*...*N，也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘，一共m个，得出的结果再对q求余数，即可求出结果。

举例来说：求11^4除以9的余数。化成公式即是：11^4  mod 9=?
11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7

于是我们可以总结出这样的公式：
M*N mod q=（M mod q）*（N mod q） mod q
（ M^n mod q = （M mod q）^n mod q ）

那么，我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢？

As we all know，如果一个数乘以1，还是等于原数；而1的任意次方，还是等于1。
所以在解答这一类的问题的时候，只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式，结果显然会好算很多的。（或者-1，2之类的比较容易进行计算的数字都可以，因题而异。）

举例说明：求3^11除以8的余数。题目即是：3^11 mod 8=?
  3^11  mod 8
=3^10 * 3^1       （mod 8）
=(3^2)^5*(3^1)    （mod 8）
=9^5  *  3        （mod 8）
=(8+1)^5 * 3      （mod 8）
=1^5 *3           （mod 8）
=3
发现没有，甚至没有去计算什么尾数的规律，答案就算出来了，而且只用了加减乘除。

那么再来看一道题目：求 （2^100）*（3^200） 除以7的余数
先化成计算公式：

(2^100)*(3^200)                          mod 7
=[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)]          mod 7
=[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2]        mod 7
=(8^33 * 2) * (27^66 * 9)                 mod 7
=[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9]         mod 7
=(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9]                mod 7
=2*9                                      mod 7
=4

注意：如果余数有负号，就当做负数一样计算。

我步骤写得很详细，但其实只要是熟练了，基本上只要三四步答案一定就出来了，有没有觉得很简单呢？赶紧找一两题来练练手吧，甚至随便写几个数字来做做试试看，像我上面的例题都是临时编的。

相信只要练习了三四道题目，以后再碰到这样的余数题，就会 会心地一笑：小样，秒掉你！





我的语文不是太好，表达上可能有很多不清楚，但是大概就是这个意思，大家看看，讨论讨论...

知之为之之

这是LZ自创的吗？ MOD。^_^

-- by 会员 chicago328 (2010/2/4 13:23:08)

当然不是……

这是国际通用的运算符……

只不过不是数学系的学生，一般不熟悉

Rui77777

谢谢楼主分享！很实用

23cats

高斯同余定理吗？谢谢楼楼分享

GGMGAGT

感谢楼主！！！！！！！！！！！！！！！！！13年之后的晚辈还能受益

yogurt7381

学到了，谢谢楼主！

iris.ac

感谢分享！               

Dennistone

感谢分享！               

BlossominJam

找到一题可以用这个方法解答的题目！
1.When positive integer n is divided by 3, the remainder is 2; and when positive integer t is divided by 5, the remainder is 3.
What is the remainder when the product nt is divided by 15 ?
(1) n - 2 is divisible by 5.
(2) t is divisible by 3.

题干可得：n=3a+2; t=5b+3
(1)n-2=3a 3a是5的倍数，那么说明a一定是5的倍数。3a是15的倍数，3a+2 mod 15=2
(2)t是3的倍数，说明5b是3的倍数，那么5b也是15的倍数。5b+3 mod 15=3
(1)+(2): nt mod 15= ((n mod 15)*(t mod 15))mod15=2*3 mod 15=6

选C

BlossominJam

2022年学子来了 看了两遍，第一遍没看懂放弃了，第二遍终于看懂了呜呜，希望之后遇到这类题都能快快做对！

sca1pel

感谢分享！               

ranyuyu

很有用！