数学机经难题求大牛指导~~！

wgl1991 · 发表于 2011-9-29 10:12:28

PS：k是一个数，它比2-29中（inclusive）所有质数的乘积多 1 ，问以下哪些条件成立？
1）K可以被2-29中的任意质数整除
2）K可以被一个比29大的质数整除
3）K 可以被30整除
这简直是大杀器啊，我只用计算器算的出来，求高人指点！！

genius1824 · 发表于 2011-9-29 10:17:10

条件1、3不充分。条件二是对的

因为kn+1是不能被n整除的。。。记得初中还是高中数学竞赛里学过~其实也挺好证明的，用中等数学的方法就行。。。

还有，如果到了考场上遇到这样的题目，直接把题目中的29替换成5或者7之类的小的质数，不会影响结果的。（对应地，30就替换成6或者8）

wgl1991 · 发表于 2011-9-29 10:27:26

嗯，谢~

有一个问题：就是替换的时候有没有什么方法，意思是质数之间就可以替换么？那非质数之间的替换有什么规律？

wyw1018 · 发表于 2011-9-29 10:29:52

其实就是两个连续整数互质的概念，所以+1不能有2-29的质数因子，而由于有2和5的质因子，因此+1的个位为1，不可能被30整除，所以选B

genius1824 · 发表于 2011-9-29 10:33:34

嗯，谢~

有一个问题：就是替换的时候有没有什么方法，意思是质数之间就可以替换么？那非质数之间的替换有什么规律？

-- by 会员 wgl1991 (2011/9/29 10:27:26)

按照我刚刚替换的方法，条件二是可以的，之前我说错了。

因为题目中的29不是特异性的，所以任何质数都可以，只要能够简化题目。（数学竞赛常用思路)。。后面的30明显是29+1.。。只要替换成你所替换的质数再+1就行

iamwinniec · 发表于 2011-9-29 10:36:51

我也苦了很久！那1,2,3 都没有这答案有吗？
我记得好想没有，寂静看过是 A）ONLY I B) ONLY II C) ONLY III D)ONLY I & II E) ONLY II & III

有童鞋好像是这样回忆的。。

genius1824 · 发表于 2011-9-29 10:40:20

我也苦了很久！那1,2,3 都没有这答案有吗？
我记得好想没有，寂静看过是 A）ONLY I B) ONLY II C) ONLY III D)ONLY I & II E) ONLY II & III

有童鞋好像是这样回忆的。。

-- by 会员 iamwinniec (2011/9/29 10:36:51)

是only2可以

tina035 · 发表于 2011-9-29 11:08:17

可以有个通论的，也就是P=2*3*5*……*n+1（n都为质数）一定可以被比n大的质数整除
证明：
反证法，假设P不能被比n大的质数整除，那么有两种情况：
1，P是质数，那么它能被自己整除，P一定大于n，所以不成立
2，P是合数，那么一定有P=a*b*....，并且根据假设它的因子都是小于等于n的，但是因为P=2*3*5*……*n+1不能被2~n之间任何质数整除，所以矛盾
反证成立，P一定能被比n大的质数整除

。。。所以选B

genius1824 · 发表于 2011-9-29 12:41:23

可以有个通论的，也就是P=2*3*5*……*n+1（n都为质数）一定可以被比n大的质数整除
证明：
反证法，假设P不能被比n大的质数整除，那么有两种情况：
1，P是质数，那么它能被自己整除，P一定大于n，所以不成立
2，P是合数，那么一定有P=a*b*....，并且根据假设它的因子都是小于等于n的，但是因为P=2*3*5*……*n+1不能被2~n之间任何质数整除，所以矛盾
反证成立，P一定能被比n大的质数整除

。。。所以选B

-- by 会员 tina035 (2011/9/29 11:08:17)

嗯嗯，考场上就不需要这样咯~tina也是学数学竞赛的么- -

tina035 · 发表于 2011-9-29 15:35:11

初中学过，习惯了纠结个结果出来。。。呵呵

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