about 完全平方数

（一）完全平方数的性质
        

        一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
        

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…


        观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
        

        性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
        

        性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
        

        证明
        奇数必为下列五种形式之一：
        

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

        分别平方后，得
        

(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

        综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
        

        性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
        

        在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
        

        性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
        

        因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
        

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

        同理可以得到：
        

        性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
        

        性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
        

        证明
        因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而
        

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7

        除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
        

        性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

(二)重要结论
        

1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
        

2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
        

3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
        

4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
        

5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
        

6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
        

7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
        

8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

晕啊 GMAC不会考这么难吧

这种高难题我都是力拼JJ的

老矣。。记不住拉