求助一道数学题

happyself · 发表于 2018-12-21 23:20:51

DS：x^2是否rounded to 9？

条件1：x^3round to 27

条件2：x round to 3

坛子上时这么分析的，

条件2显然不成立，比如x=2.5。然后考虑条件1。直观上看条件1肯定是对的，但也需要严格证明。

记A=x³-27=(x-3)(x²+3x+9)，B=x²-9=(x-3)(x+3) ，有A-B=(x-3)(x²+2x+6)，实际上对于x²+2x+6这部分来说，因为它等于(x+1)²+5，所以是恒正的。当x<3时，A-B是负数，也就是x³与27之间的差值大于x²与9之间的差值，x>3时也一样。换句话说，如果连x³和27之间的差值都已经小于0.5,（可以round to 27），那么x²与9之间的差值会更小，所以一定能round to 9。选A。

这个分析我觉得有点反。x<3时，A-B<0, x^3与27的差值小于x^2and9的差值呢。就无法判断了。我怎么觉得选E呢。求问大牛们~谢谢

一颗野生的蛋蛋 · 发表于 2018-12-22 00:43:13

答案应该是A
转述一下条件：函数f(x) = x^3, 令f(a) = 26.5, f(b) = 27.5，问对于x∈[a,b)是否总有x^2 ∈[8.5,9.5)。
我的想法是用放缩法得到一个比[a,b]更大的区间，由于x^2也是个增函数，所以只需要检查大区间的端点值就ok了。证明在图里，写的有点乱，也不是很标准的证明格式（忽略我的丑字吧）

happyself · 发表于 2018-12-22 01:03:05

一颗野生的蛋蛋发表于 2018-12-22 00:43
答案应该是A
转述一下条件：函数f(x) = x^3, 令f(a) = 26.5, f(b) = 27.5，问对于x∈[a,b)是否总有x^2 ∈[8 ...

看你这么认真，感动得稀里哗啦的。你的基本逻辑我大概明白了。就是要看看多/少乘以一个x是不是会放大还是缩小误差，以至于可以让我们决定round不round
倒是启发了我用一种更简单的方法来想这个问题。只要x是大于1的，每乘以一次就扩大了原数，so does 误差。所以少乘一个大于一的数有利于缩小误差~但是讲真，证明过程我没有很follow，主要是我感觉我考试的时候不会这么想。

或者楼主有什么更严谨也省时的方法吗？谢谢

痴人也有梦 · 发表于 2018-12-22 02:55:29

我觉得用
8.5 *3 = 25.5 ....而25.5的三次根的平方一定大于8.5 ..小于9
9.5*3=28.5 .... 而28.5的三次根的平方一定小于9.5 大于9
只要在这区间就可以满足
显然x^3要满足round to 27 必须是在26.5-27.499999 之间，满足上面的要求

一颗野生的蛋蛋 · 发表于 2018-12-22 11:30:18

happyself 发表于 2018-12-22 01:03
看你这么认真，感动得稀里哗啦的。你的基本逻辑我大概明白了。就是要看看多/少乘以一个x是不是会放大还是 ...

其实相信直觉就好，曲线斜率越大对应x的范围越小
p.s. 坛子上的思路是对的，我稍微修改了一下

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