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yunshishow · 发表于 2011-10-6 21:27:30

159 If n is a positive integer and r is the remainder when (n - 1)(n + 1) is divided by 24, what is the value of r ?

(1) n is not divisible by 2.

(2) n is not divisible by 3.
答案C。此题除了代入法以外，有没有什么更科学更快捷的方法？

howfay · 发表于 2011-10-6 22:41:20

因为24=4*6=2*2*2*3我们从分析（n-1）(n+1)中是否含有，有多少个因子2和3入手。
（1）可得n是奇数。那么n-1和n+1就是两个相邻的偶数的。可得n-1和n+1各自有一个因子2。又因为相邻两个偶数之间，必定有一个能被4整除，所以（n-1）(n+1)中含有2*2*2=8这个因子。最后我们考虑（n-1）(n+1)中是否有3这个因子。若n为3的倍数，那么（n-1）(n+1)中必定没有3这个因子，（n-1）(n+1)不能被24整除。若n不为3的倍数，（n-1）(n+1)可以被24整除，余数为0。不充分
（2）从上面分析可知，当n不是3的倍数，则（n-1）(n+1)能被3整除。若n为偶数，则（n-1）(n+1)是两个连续奇数的乘积，必定不含因子2，不能被24整除。若n为奇数，则（n-1）(n+1)可以被24整除，余数为0。不充分
（1）+（2）n为奇数且为不3的倍数，从上可得（n-1）(n+1)能被24整除，余数r为0，充分

yunshishow · 发表于 2011-10-6 22:57:43

明白了，谢谢辛苦回复。

tenby · 发表于 2011-10-6 23:02:09

看到好多G友比较困惑share一下我的想法：
（1）条件1： n=2k+1(k=0,1...),带入(n - 1)(n + 1)=2k(2k+2)=4k(k+1), insufficient
(2) 条件2： n=3j+1 or 3j+2, 带入（n-1)(n+1) insufficient

条件（1）（2）
当条件（1）n=2k+1 ,条件2 n=3j+1时，同时满足两条件的n=6m+1（m=0...1,2,,,）
带入（n-1)(n+1)/24=6m(6m+2)/24=m(3m+1)/2=m^2+m(m+1)/2 明显余数为0
同样的。当条件（1）n=2k+1 ,条件2 n=3j+2时，同时满足两条件的n=6m+5=6（m-1）+1（m=0...1,2,,,）
余数也为0。
（1）（2）sufficient

yunshishow · 发表于 2011-10-6 23:37:24

呵呵，这方法很严谨，谢谢解答。

zhoufeiyi · 发表于 2011-10-7 01:10:13

好像还是代入法更快捷吧？

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