[转]一元二次方程根的判别式的综合应用

Robin100081 · 发表于 2010-12-3 15:20:19

之前做讨论稿的时候提到过下边这份资料，是以前弄百度知道团的时候找的，不是我原创的，不过个人感觉整理的还不错，发上来跟大家共享一下。

一、知识要点：　　
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
　　定理1 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根
　　定理2 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根
　　定理3 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根
　　2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
　　定理4 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0
　　定理5 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0
　　定理6 ax^2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0
　　注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0
二.根的判别式有以下应用：
　　 不解一元二次方程，判断根的情况。
　　例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
　　(2)ax^2+bx=0(a≠0)
　　解：
　　(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
　　∵Δ=(-b)2-4·a·
　　∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
　　∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根。
　　 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
　　例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
　　分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；
　　解：Δ=(-4)2-4·
　　（1）∵方程有两个不相等的实数根，
　　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜
　　（2）∵[!--empirenews.page--]方程有两个不相等的实数根，
　　∴Δ=0，即36-4k=0.解得
　　（3）∵方程有两个不相等的实数根，
　　∴Δ<0，即36-4k<0.解得
　　 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
　　例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
　　分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
　　证明：　　Δ=-4(m2+2)2
　　∵不论m取任何实数
　　∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ
　　∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。
　　小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
（1）计算Δ
（2）用配方法将Δ恒等变形
（3）判断Δ的符号
（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
　　 应用根的判别式判断三角形的形状。
　　例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2[!--empirenews.page--]ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。
　　(提示：答案为ΔABC为RtΔ）
　　 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
　　例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（）
　　（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）
　　分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ
　　解：（1）
　　∵方程有两个相等的实数根，
　　∴Δ=k2-4×16×
　　∴k=+40或者
　　（2）
　　∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0 ∴
　　 可以判断抛物线与直线有无公共点
　　例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？
　　解:列方程组消去y并整理得
　　，∵抛物线与直线只有一个交点，
　　∴Δ＝0，即　4m+5=0 ∴
　　说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。
　　 可以判断抛物线与x轴有几个交点
　　分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点（１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax[!--empirenews.page--]2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
　　当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
　　当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。
　　当时，抛物线与x轴没有交点。
　　例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
　　（１）　　　（２）　　　（３）
　　解：（１）Δ＝16-12=4>0 ∴抛物线与x轴有两个交点。
　　（２）Δ＝36-36=0 ∴抛物线与x轴只有一个公共点。
　　（３）Δ＝4-16=-12<0 ∴抛物线与x轴无公共点。
　　例8、已知抛物线
　　（１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？
　　（２）当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。
　　（３）当[!--empirenews.page--]m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？
　　解：令y=0，则　　　Δ＝
　　(1)∵抛物线与x轴有两个公共点，　∴Δ>0，即 – 4m+8>0 ∴
　　(2)∵抛物线和x轴只有一个公共点，　∴Δ＝0，即 –4m+8=0 ∴
　　当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。
　　(3)∵抛物线与x轴没有公共点，　∴Δ<0，即　－4m+8<0，　∴
　　∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。
　　 利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题
　　分析:抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 [!--empirenews.page--]的两根差的绝对值。它有以下表示方法：
　　例9: 求当a为何值时?二次函数图象与x轴的两个交点间的距离是3。
　　（参考：图象与x轴两个交点间的距离是3）

alanyao · 发表于 2010-12-3 16:48:11

lz的帖子必顶，感谢您的整理稿

麦兜woo · 发表于 2010-12-3 18:03:08

LZ辛苦了～

Robin100081 · 发表于 2010-12-3 19:54:05

lz的帖子必顶，感谢您的整理稿

-- by 会员 alanyao (2010/12/3 16:48:11)

哈哈，谢谢支持~~

Avengeryzc · 发表于 2010-12-3 20:16:08

哥来顶你了

小耗子ss · 发表于 2010-12-3 20:23:42

吼吼~~~

Robin100081 · 发表于 2010-12-3 20:42:06

哥来顶你了

-- by 会员 Avengeryzc (2010/12/3 20:16:08)

不是这篇哦~呵呵，不过还是谢谢啦~

sumi00 · 发表于 2010-12-3 21:54:04

LZ辛苦了～

13873194104 · 发表于 2010-12-3 22:48:34

Ellis · 发表于 2011-1-15 15:17:08

[转]一元二次方程根的判别式的综合应用

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