给菜鸟朋友们: 因数问题总结

必备词汇：

Factor: 因数

Multiple: 乘积

Prime: 质数（素数）

基本定理及技巧：

A.      一个数的所有因数：任一整数N必可表达为2^k * 3^j * 5^l * 7^m….形式。

换言之，任一整数均是一系列质数的乘积。因此求因数可先将其表达为以上形势，取所有可能的组合即是所有因数。GMAT so far 好像没有考到大于7的因数，主要问题都在2，3，5上打转。

      A1. 质数的因数只有一和它本身

例题：

一月11.集合a里面有所有16的负因子，集合b里面有所有8的负因子，x属于集合a,
        y属于集合b,问x-y最小值

题眼在于求出a 与b的所有元素，
        即：求8及16的所有因子（全加上符号便是所有负因子）

16 = 2 ^ 4. 因此所有因子为
        2^0, 2^1, …, 2^4 （所有可能组合）。

同理得8的所有因子。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

一月40.k是整数，5^k是99到199（包含）间所有奇数乘积的一个因子，求k的最大值

我们面对一个天文数字
        99 * 101 * 。。。。
        * 199。
        纸老虎！记住定理A，则此题转化为:

天文数字99 * 101 * 。。。。
        * 199 可表达为2^k * 3^j * 5^l * 7^m…，
        求l的值！

（因为5^k中k的最大值等于上式中的l）

设99 =  2^k1 * 3^j1 * 5^l1 * 7^m1…

   101 = 2^k2 * 3^j2 * 5^l2 * 7^m2…

很明显，题目是要求l1 + l2 + … + l21之和。
        又因为5的倍数必然以5或0结尾，下面就容易了---只要细心一点数数就成。

一月58.P is a prime number, and it is greater than 3. What is the following number which only has factors of 1 and itself?
1. 2P
2. 3P
3. 4P
4. P^2
5. P^3

太弱智了。2P,3P，4P显然分别有2，3，2 / 4做因子。P^2所有的因子只能是P^0=1, P^1 = P 及P^2 （因为P是大于三的质数）。P^3所有的因子只能是P^0=1, P^1 = P，P^2及P^3。
        题目表达大概有误？

一月431
        （228） x,y都是整数，2^x*5^y=0.002，问x的值

因为0.002=1/500,所以x,y 必为负数，只要求-x,-y好了。题目转化为：求500的因式表达式。500 = 2^2 * 5^3, 题解。

一月43．X is a positive integer. 2-height of X is defined as the greatest non-negative integer n where 2^n is a factor of X. K and M are two positive integers. Whether 2-height of K is greater than 2-height of M?
a. K is greater than M
b. K is even times of M

该题的题意是，
        如果X 表达为2^k * 3^j * 5^l * 7^m…，
        则“2-height“即指前式中的k.

题目重新表达如下：

已知 K = 2^k1 * 3^j1 * 5^l1 * 7^m1…….

        M = 2^k2 * 3^j2 * 5^l2* 7^m2…….

问
        k1 > k2?

条件A:  K > M, 很显然，不说明任何问题（例子：其他各项相同，j1 > j2）

条件B:  K / M = 2 ^ x, x 为正整数。

因为K / M = 2^（k1-k2）* 3^ (j1-j2)….. = 2^x; k1 - k2 = x >0. 题解。

就到这里，就到这里吧

谢谢!