详细解答输血189（数列：四*十^n,四*十^n-1,..,四*十^n-m 的平均数问题）~欢迎讨论

dyt3333 · 发表于 2012-8-1 10:53:32

输血189 我的解答
189. 一个数列，4*10^n,4*10^n-1,......,4*10^n-m。问这列数的平均数是不是整数
条件一：m<6 条件二：n=12

这道题实在是有太多人在纠结了，而且到目前为止都没有给出准确答案，JJ上选E的求和公式明显是错的，后来又有考完的没考的同学都坚定的选A。
对于有的童鞋，我实在是很想吐槽几句，如果对自己的解答不确定，也稍微不要那么那么的胸有成竹的说一大段解释，然后各种同这个同那个，同选多少的，这样会误导很多人的！！！当然CD上的大家辛辛苦苦的整理了这么多的输血狗狗，还是很赞很赞的，就还是希望大家在确定自己答案没有问题的时候，再给别人解释吧。如果你不确定的话，可以以讨论的语气来和大家讨论讨论对吧。
废话多说了一点，下面我就来说说我的想法，当然我也不确定它是对的，希望大家有异议可以一起讨论~~

首先，拿到这题的时候，还是很自然地想到了等比数列的求和公式：
S=a1（1- q^项数）/ (1-q) 这里我们的 a1 = 4 * 10^n q=1/10 项数= m+1
所以 S = 4*10^n [ 1- 10^(-m-1) ]/ (1 - 1/10) = 4*[10^(n+1)-10^(n-m)] / 9
所以 Average = S/项数 = 4*[10^(n+1)-10^(n-m)] / 9 (m+1) 到这里大家都没问题吧

其实算到这里，我们发现其实用求和的公式来判断是不是整数其实不太容易一眼看出来。我们可以尝试着直接从原始的求和式子来验证条件一的情况。
在这里我有一个非常大的问题，就是n和m的关系！！即n-m是否大于0？？？
这题出来这么久了，讨论了这么多天了，为什么没有人问过类似的问题呢。
数学这种东西一定是严谨的严谨的，如果大家默认了n和m都是正整数的话，题目不给这个条件也就算了，我们都能接受~~
但是不能默认n一定比m大吧！！！有同学问了，m比n大又会怎么样？？？很多人在分析里说完全就和n没关系~~我就呵呵了~~
当n<m的时候， n-m<0 ，于是最后一项4*10 ^（n-m）一定是个分数啊同志们，所以数列的和中还带一个小于1的小数你们预备怎么把它除成一个整数？？
很简单的例子，当n=1，m=2的时候，数列是40，4，0.4，这个和是44.4 ，平均数是44.4/3，一定不是正整数吧~
或者当n=m的时候，n-m=0 ，于是我们的最后一项，还是这个4*10 ^（n-m）（就它事多= =）它就等于4了啊，所以这个总和的个位数一定是4，你们觉得它能被5整除？？还是一个例子，当n=4，m=4的时候，数列是40000，4000，400，40，4，和是44444，平均数是44444/5，也不是整数吧~~
所以不要以为这个条件可以忽略，它很重要好吗！！
当然我觉得不可能大家都没有注意到的，所以由于考过试的人都选了A，据我的猜测，题目中应该是在给出n和m是正整数的时候，一起给出了这个条件的~那就选A~
不过从条件二给出了n=12来说，也有可能是没有给n>m这个条件，正好出题者让我们可以通过条件二来满足n>m，从而最后能够得到一个整数，这样的话就应该选C了~
所以，大家在放狗狗的时候，一定麻烦能够尽量全的给出条件，不要自以为某些条件可以忽略就不给了，会很影响结果的~~~
所以，这题我的意见是，如果给出了n>m这个条件，那一定是选A的，如果没给这个条件，我们就需要条件二的，应该选择C：BOTH。
下面来解释一下为什么当n>m的时候，应该选A~~
我们回过头来看这个数列：4*10^n, 4*10^n-1,......,4*10^n-m ，假设题目给出了n、m为大于0的整数，且n>m（即 n>m>=0 ）
原始的求平均数式子是： Average=[ 4 *10^n + 4*10^(n-1) + ......+ 4*10^(n-m）] / (m+1) 我们把具体的m值带进去分析一下：
当m=0时，平均数的分母是1，数列就一项4*10^n，一定是个整数；
当m=1时，平均数的分母是2，由于数列中所有的项都含有公因子4，所以一定能被2整除；
当m=2时，平均数的分母是3，为使结果更明显，我们把4提出来，只考虑[10^n + 10^(n-1) + ......+ 10^(n-m)] 能否被3整除~
找几个实际数字带进去，我们会发现这个和一定是由3个1加若干个(实际上是n-m个) 0组成的，比如说n=3,m=2时，1000+100+10=1110
这个结果有什么特征呢，我们知道各位数字加起来的和能被3整除的数一定是能被3整除的，所以这个平均数一定会是个整数；
当m=3时，平均数的分母是4，由于数列中所有的项都含有公因子4 ，所以一定能够整除；
当m=4时，平均数的分母是5，还是考虑[10^n + 10^(n-1) + ......+ 10^(n-m)] 能否被5整除~
只要发现最后一项10^(n-m) 只要个位数是0就一定能被5整除，比如说n=5,m=4时，100000+10000+10000+100+10=111110
即要满足 n-m>0 或 n-m>=1 这个总和一定能被5整除；
当m=5时，平均数的分母是6，由于数列中所有的项都含有公因子4 ，所以一定能被2整除~
又和m=2的情况类似，这个和一定是由6个1加若干个(实际上是n-m个) 0组成的，各位数字加起来的和一定是能被3整除的~
所以这个总和也一定能被6整除~
所以综上所述，在n>m的条件下，我们可以发现所有m<6的情况，最后的平均数都是一个整数。
其实，大家不难发现，这个总和其实就是由（m+1）个4 和（n-m）个0组成的，遇到这样的题大家还是要学会找规律，要细心算就不会错的啦~
不知道我这么解释大家明白不明白，还有什么问题的话欢迎各位提问，楼主热心给大家解决各种问题哈~

————————————————————————————8.1下午更新—————————————————————————————
刚刚在 fongfeihua 同学的八一放狗的帖子里 http://forum.chasedream.com/GMAT_Math/thread-743244-1-1.html 又提到这题了~
原始题目中果然是有 n>m 这个条件的~~所以这题大家可以放心的选A了哈哈~~祝大家好运啊~~

dyt3333 · 发表于 2012-8-1 12:07:16

有人表示一下赞同或者反对么= =。。。楼主打字打的很辛苦啊呜呜~

kimmy530 · 发表于 2012-8-1 12:29:50

谢谢，虽然考完了。。。正在准备再考。。。我好头疼数学啊。。。

dyt3333 · 发表于 2012-8-1 13:08:59

要对自己有信心哈~数学都不难的，只要理解好题目的意思，掌握好常考题型的方法，然后认真一点算就OK啦~

贤小哲 · 发表于 2012-8-1 15:38:23

刚看到这题，顶楼主，觉得楼主的解释很对~~！

yhmo139 · 发表于 2012-8-1 15:44:15

好好做了一下验证了楼主的思路，应该想得很周到没问题。我一开始也没想到n>m的问题，楼主总结的很好，十分感谢！

dyt3333 · 发表于 2012-8-1 16:06:13

To：贤小哲 & yhmo139
楼主表示很欣慰哈哈哈~终于有人认真的看完并作出验证，没枉费楼主打了那么多字~~

To：某个此时正在杀G的孩子。。
还有50分钟啊，加油啊，等你的好消息啊~
楼主表示一下午等的各种不淡定啊各种手足无措啊~~

dyt3333 · 发表于 2012-8-1 16:30:39

题目中果然是有给n>m>=0这个条件的~~

jxu431 · 发表于 2012-8-1 16:39:30

考虑的很全面，谢谢楼主！！

untilil · 发表于 2015-11-22 21:26:24

讲的很好啊！！！谢谢楼主，虽然是很早以前的帖子~但是感觉考试的时候怕来不及想这么多。。

详细解答输血189（数列：四十^n,四十^n-1,..,四*十^n-m 的平均数问题）~欢迎讨论

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