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Sofiaxy · 发表于 2012-7-15 10:50:19

x,y都是positive integer, x=8y+12,求x,y的最大公约数
1）x=12U, U is integer
2) y=12z, z is integer
问哪个能推出？
没思路啊

出国小土鳖 · 发表于 2012-7-15 11:09:55

果然好难。。。我试试
单独看1：x=12u=8y+12 y=3(u-1)/2 除了知道u是个奇数外无解
单独看2：x=8*12Z+12 说明x是12的倍数，y也是12的倍数 x=12*(8z+1) 这最大公因数还是随着z在变
合起来看：2）囊括了1） y是12的倍数时x肯定是12的倍数继续无解
答案是E麽囧

Alfie1987 · 发表于 2012-7-18 20:55:14

单独看1：x=12u ,y=(x-12)/8=3*（u-1)/2 楼上已经推出u是奇数，可以取两个数试试，u=3的话，最大公约数是3，如果u是5，最大公约数是6.不能确定
单独看2：y=12z, x=8*12z+12=12*(8z+1) 因为z和8z+1互质，因此最大公约数只能是12，就是说除了x和y因式分解当中的12，已经不能从z和8z+1当中提取相同的因子乘到最大公约数中。
土方法，讨论

宜风 · 发表于 2012-8-7 10:25:18

我认为这个题可以用高中数学学过的古代算法，即12和9的最大公约数为（12,9）=（12-9,9）=（3,9）=（3,9-3）=（3,6）=（3,3）=3，就是每一步中都是用大数减去小数得到的差取代大数的位置。
这样
（1）中（12u/8-12/8,12u)最后推出（3/2u-3/2,12)这里无法判断3/2u-3/2和12的大小，如果u小于9，则后者大，大于9则前者大，各找一个大于9和小于9的u代入最初的式子中检验，发现最大公约数会根据u的取值变化而变化
同理（2）中（8*12z+12,12z）最后推出（12,12z），无论z取多少，继续算下去，都是12z被减去z-1个12，得到（12,12），所以最大公约数比为12

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