狗狗中的2道数列题请教(154,363)，和给的答案不一样，谢谢

happysz163 · 发表于 2010-1-21 16:44:38

这两道题目非常类似。我给出了我的解法，请大家指正。谢谢。

154 数列题，A1, A2, ....An, An=A(n-1)- A(n-2)，　A1=1, A2=2, 问前1000项的和狗狗author 选的是3

363 PS：a(1)=-1, a(2)=1, a(n)=a(n-1)-a(n-2), 问a(1000)=?

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我的解法 for 363：

a(n)=a(n-1)-a(n-2),
a(n)=(a(n-2) – a(n-3))-a(n-2) = -a(n-3)

-a(n-3) = -( a(n-4)-a(n-5)) = a(n-6)

A(n), a(n-3), a(n-6), …. 是等比数列 =》A(1000), a(997), a(994), … a(1)

等比数列公式： A(1000) = a(1)* (-1)^(n-1) = -1 * (-1)^333 = 1

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我的解法 for 154：

a(n) = a(n-1) - a(n-2)

a(n-1) = a(n-2) - a(n-3) ....

a3=a2-a1

Add all equations up, and we can get a(n) + a(n-1) +....a3 = a(n-1) -a1, add a2+a1 on two sides, then we get Sum(前1000项) = a(n-1) +a2

a1=1, a2=2, a3=1,

a4=-1, a5=-2, a6=-1

a7=1, a8=-2, a9=-3

a10 =-1, a11=2, a12=2, ....

a(n-1) 的解法和上面一道题目(363)的解法类似，我算出来是a(1000)=1, a(998) =2 =>a(999)=3, so the final value is (3+2)=5, not 3.

Am I right? Or you may have some other smart solutions to solve it. Please advise. Thank you very much.

仙蒂瑞拉 · 发表于 2010-1-21 18:43:22

An=An-1 – An-2, An+1=An – An-1,两式相加得，An-2+An+1=0,即 An+An+3=0,
(A1+A4=A2+A5=A3+A6=0,之后以此类推)，6个一循环。1000除6余4，A1+A2+A3+A4=0.
这是我的答案，不知道对不对啊~

evilstar111 · 发表于 2010-1-21 18:45:27

这题目可以看出a(n)=a(n-1)-a(n-2)=[a(n-2)-a(n-3)]-a(n-2)=-a(n-3),a(n-3)=a(n-4)-a(n-5)=-a(n-6),a(n)=a(n-6),所以这是一个一每6个数为循环，而且每6个数之和为0，所以只要算出前6个就知道后面的了，a1=-1,a2=1,a3=2,a4=1,a5=-1,a6=-2,所以，求a1000，算1000除6，余4，a1000=a4=1，
a1到a1000的和就是a1+a2+a3+a4=-1+1+2+1=3

happysz163 · 发表于 2010-1-22 08:36:30

Thanks a million. It is really helpful.

狗狗中的2道数列题请教(154,363)，和给的答案不一样，谢谢

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