求教math jj 66

wingmat750 · 发表于 2009-8-28 02:01:00

66、 DS： x有多少个小于它的factor?

1）x^2有exactly 4个小于x^2的factor 2）2x有exactly3个小于2x的factor

edmundshi:分解质因数：x^2=(p^2j)*(q^2k)*(r^2l)……

由(1)得：(2j+1)*(2k+1)*(2l+1)……=5=5*1，故只有2j+1=5可能，所以x^2=(p^2j)=>x有j个小于它的factor. 选A

jerryzhangy · 发表于 2009-8-28 16:11:00

同问

sucy · 发表于 2009-8-28 17:05:00

同问

DarkRusher · 发表于 2009-8-28 18:01:00

楼上的应该是对(2j+1)*(2k+1)*(2l+1)不明白吧……在下讲解一下：
设x=a1^b1*a2^b2*...*an^bn,其中a1、a2、…an分别是x的质因数，b1、b2、…bn分别是每个质因数的指数。
则x总共有(b1+1)*(b2+1)*…*(bn+1)个因数。因为在一个x的因数中a1的出现情况可能是0次方、1次方、2次方、…b1次方，因此对于a1来说是（b1+1）种情况（后面加的这个1是指0次方的那种情况），同理对于a2有(b2+1)种情况，…对于bn有(bn+1)种情况，于是总共就有(b1+1)*(b2+1)*…*(bn+1)种组合，也就是(b1+1)*(b2+1)*…*(bn+1)个因数……
再看edmundshi的讲解就容易理解了：他假设x分解为p、q、r…等质因数，每个质因数的指数分别为j、k、l…于是x^2的因数就是(2j+1)*(2k+1)*(2l+1)…个，而条件中说比x^2小的4个，那么加上x^2本身就一共5个因数，(2j+1)*(2k+1)*(2l+1)…这个式子要凑出5就只能是2*2+1，也就是说x是个完全平方数且其平方根是质数（x=p^2），因此小于x的因子只有1，p两个……

DarkRusher · 发表于 2009-8-28 18:17:00

再解释一下（2）为何不行吧：
当x小于等于2时（即x取1或2时），2x都没有3个小于自己的因数，因此x必大于2。此时2x至少有1，2，x三个因子比自己小，而条件中说2x正好只有3个因数比自己小，也就是说x不能分解出1、2、x以外的因数了。但这时出现两种情况：
情况一、x是质数，此时x只有1一个因子比自己小；
情况二、x=4，此时x有1、2两个因子比自己小……
综上，条件（2）不成……

jerryzhangy · 发表于 2009-8-29 09:47:00

明白了，谢谢。

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