背景调查...辞职后跟上一家东家关系不好,背景调查怎么办...?

不太明白你的意思，这和搞得好搞不好没有直接关系。你所指的“乱说话”是什么意思？

背景调查就是调查你的工作起始时间，职位，职责等，即便关系没搞好，公司的人也不可能信口胡说的，这是要负责的。

所以我不认为这是个什么大问题。