本月数学难题汇总 - ChaseDream

报答各位的无私奉献！所有答案都已验证过，没有时间的朋友可以只看这些。感谢CHASEDREAM!

1.T集合由30个小数组成，S集合是T中各项的和，E集合定义为这样的数字的和：对于T中的每个数字的十分位为偶数，则up rounded 到最近的整数；十分位为奇数，则down rounded到最近的整数，另外总共有10个小数是up rounded的，20个是down rounded的，问E-S有可能是：

Answer 1: 该题选"三个都行",考虑S的两种极限情况:30个0.01或30个0.99,前者得到E-S的最大值30,后者得到E-S的最小值-30,所以在(-30,30)区间内的值都行.
解释: 30个0.01将round up 到30个1,所以sum就增加了30; 而30个0.99将round off到30个0,所以sum就减少了30.

Answer 2: 如果外加条件"另外总共有10个小数是up rounded的，20个是down rounded的", 那么当S里包含10个0.0...1和20个0.10...01时,E-S取得最大值8(因为增加得最多而减少得最少);当S里包含10个0.89... 9和20个0.9...9时,E-S取得最小值-19(因为增加得最少而减少得最多). 所以E-S ∈(-19,8). 选(1)和(3)
注意:-19和8是取不到.
证明:当E-S能取最大值时,设S中有10个Δ(Δ是正的极小值), 有20个0.1+Δ,那么E-S=10(1-Δ)-20(0.1+Δ)=8-30Δ<8
当E-S能取最小值时,设S中有10个0.9-Δ,有20个1-Δ,那么E-S=10(0.1+Δ)-20(1-Δ)= -19+30Δ> -19

2. 2个圆相切，大圆半径为18，小圆半径为8,他们同时又和一条直线相切，问两个圆和该切线切点间的距离（注意是求直线上两个切点间的距离）。

3. DS：a、b、c是三个质数，a<b，a+b=c，x、y、z是正整数，问a^x*b^y*c^z >100

答案：A， 1）x,y,z 不按顺序可取1,1,3或1,2,2，而最小的三个质数2,3,5，可以算出(n^x)(r^y)(s^z)在(2^3)(3^1)(5^1)时最小，此时为120。2）如果xyz均为1，则nrs〉30无法推出大于100

4. S为1——x个自然数的和，问S比这些数字的平均数多百分之多少，注意百分符号，

6. DS:12个医生分别的专业是M, S, I, R, T,那么从事I的人有多少？

如果2条件联合，从条件2得到：R或T=6，但R不能为6，因为条件1中M，S，R相等，这样M，S，R就有18人了，超过了总人数12人。所以只能T=6，

因此 3a+x+6=12, 3a+x=6，只有a=1,X=1 的时候成立。
因此2条件联立有唯一解。I=3

答案： E 如果xyz连续，如456，则无法被6整除，wupa觉得如果x<Y<Z, 则此时x为奇数，两个条件可以共同推出

11. An=An-2/An-1的余数，告诉你说A4是第一项为0的。A3是6，问A1等于多少？选项分别是48，49，50，51，52。

12. SET（A,B,C,D,E,F,G,H), 从中选3个数字作为EMPLOYEE的号码，比如ABC和ACB是不一样的，剩下还有36个号码没有用，问有几个EMPLOYEE

14. 一个圆上有7个点，三角形的顶点和四边形的顶点都是这7个点中的，问不同的三角形的个数比上不同的四边形的个数是多少

答案： 1, C(7,3):C(7,4)=1 做完发现其实选三个点和选4个点是一回事

15. 一个三角形ABC，另有一条直线平行于底边BC，交三角形于DE两点，设线段BC为a inch, 线段DE为b inch，
问：a>2b？

（1）线段AD=线段DB；
（2）三角形ABC的高是三角形ADE的高的2倍。

16. 集合{s、t、u}的子集包括{s}、{t}、{u}、{s、t}、{s、u}、{t、u}、{s、t、u}，还有一个空集{}。那么，集合{s、t、u、v、w}的子集中，不包括t的子集有多少种？我选的是C14+C24+C34+C44+1=16。

17. 说有一台晚会共有6个节目，其中3个节目必须依次consecutive演出，但是这三个节目之间的次序没有规定。问：共有多少种排列方法？ 144

答案： 4!*3! , 先把这三个节目看成一个，得4!；然后对这三个节目内部排序，得3!.

18. 共有奖金1560元，一等奖获得者每人能得到120元奖金；二等奖获得者每人能得到40元奖金；三等奖获得者每人能得到15元奖金。问：获奖人数最少将是多少人？

答案：（1560这数字记不大准了~反正就是拿1560除以120，余数110再除以40；又得余数30再除以15；最后把三个商相加

19.一个正方形，以每条边做为30度的内接直角三角形的斜边，于是得到四个三角形，于是中间有一个小正方形，问这个小正方形的面积与大正方形的比例

20. 多少钱以2%单利存一年相当于10000以semiannually interest 4%存一年?

多少钱以2%单利存一年所得到的利息相当于10000以semiannually interest 4%存一年所得到的利息

21. DS.一个研究所，搞研究的占48%，作调查的占52%，搞教学的占30%。求至少从事两门的占的百分比。1)搞教学中的一半至少从事另外一门 2)既搞调查又搞研究的人并且不搞教学的人占7%。我选C。因为1) 2)两部分加起来正好为所求。画Vein图

答案：
C 教学j，研究y，调查d，jy表既y又d不j，依次类推，jyd表示三个工作都参加 1）jy+jd+jyd=48/2， 2）dy=7 1+2，得解

22.DS：数轴上从左到右a、b、c、d四个点，a到d之间分成了14份吧（题目里没说数字，但是图上能数出来）（我的题上写的是15），问c-d?

23自然数1-20的和为X，自然数21-40的和为Y, 问X-Y（也可能是Y-X）=？

25.一个班有16个人，9个是初中生，7个是高中生，如果随意挑出3名学生，那么三名学生中包括至少一名高中生一名初中生的选法有多少种？

答案： 441 C(16,3) – C(9,3) – C(7,3)=441,即排除全是初中生或者全是高中生

28. n是大于1的整数,T是集合{k*n},其中k为所有整数.问n是多少?
(1) -7是T中的一个
(2)49是T中的一个

答案： A因为此时n=7,k=-1,不可能有其他解,而条件(2)可能得到n=7,k=7或n=49,k=1.

29. 总共30个东东,分5堆,每堆至少1个,问是否至少有一堆含9个以上(包括9个)这样的东东?
    (1)......忘了
    (2)有两堆每堆含2个这样的东东
答案：   2单独成立，因为此时另外3堆东东加起来有26个,如果这三堆每堆最多含8个,那么总数为24,小于26,所以至少有一堆含9个以上这样的东东.

30. DS：讲一个圆内接于一个矩形中，和3边相切，问能否知道阴影部分（就是除去圆和圆与矩形围成的两个小角落之外）的面积. 1，已知圆的半径; 2,已知矩形周长
答案：C 园的直径就是长方形的宽，结合2得到长，长再减去圆半径，即为所求部分加上半圆的一个长方形的长

31. 讲有200辆汽车，有的有遮阳板，有的有警报系统，前者是后者的2倍，2者都有的有40辆，两者皆无75辆，问题忘记了，好像是问只有警报系统的数量

34. 说一个大容器，２００*２００*３００，做好后各边有１的误差，问这个实际容量和理论容积差的近似值．（单位都是厘米），有１２０００,１００００．．．．

35. 一个三位数的三个位数的乘积为45, 问这个三位数的个位是什么数?

45的个位数因子有1，3，5，9，所以这个数可以是159三个数的组合，或者335三个数的组合，条件一得到951，条件二可以得到是159，195或者之类的，不唯一。

36. 就是一个坐标系，一条直线经过两个点（6，0）（0，4）和坐标轴形成一个三角形，一条平行于X轴的直线将三角形的面积分成相等的两块，问你这条直线在y轴上面的截距

37. 还有一个MIXTURE里面有三种原料C，A，B ,给出了三种原料分别的单价,但三种原料的数量是用类似这样的话说的:C是A的2倍，A又是B的3倍，最终要求求这个MIXTURE的成本？简单计算不难，但要搞清楚倍数的英文表达方式。

38. DS.五个人中其中四个人年龄分别是19 19 20 20。求第五个人年龄。 1)五个人年龄range是2 。2)五个人平均年龄大于19。

答案： E 1)可以推出第五个人18或21岁，带入2）发现18和21都有可能

答案：我算得是8 即为求上式结果的个位数，7的次方的个位数是循环的，依次为7,9,3,1，6的次方的个位永远是6，因此相当于7^3*6，即3*6=18，个位数是8

40. 问 x^2+y^2 除以xy是不是大于2，好像还有有xy>0 这个条件。 1) 忘了。。不过好像单独是不成立的； 2）x不等于y

答案： 2）单独成立，因为x不等于y可以知道（x－y）^2 >0, x^2+y^2>2xy,

41. 说有一个点在坐标轴上表示为（a， b），问a是多少（也可能是问b，大家做的时候再好好看一下），
１）这个点在一条和y轴平行并经过（３，０）这个点的一条直线上；
２）这个点在一条和x轴平行并经过（0，４）这个点的一条直线上

答案：答案是五个不同的数轴，选择表示所有数的那条，因为任何数都满足该不等式

43. 假设有6道测试题，其中3个必须是挨着出现的，请问有多少种排列方法

答案： 144 先把其他3个排列，有6种方法，剩下了4个空位供那三个必须挨个的题放置，这三个必须挨个出现的题自身有6种排列方法，所以6×4×6=144

44. 一个数小于等于1000，能同时被4和5整除，问一共有多少个这样的数?

答案： 50 如果是正整数，那么1到1000种能被20整除的有1000/20=50个

45. A B C D E F G H8个字母，抽出其中3个代表工人的工号（顺序不同代表不同），有64个没有用，问一共有多少个工人？

46. 一个存折，里面有20000美金，利息是季度利息的复利形式，除了利息没有其他的活动，利息是多少？

解答：设个未知数式子一列一看就都能解出来，因为两个条件的式子都只有这一个未知数

47.四种水果，每种至少两个。求随机取三个，其中有且只有两个是相同水果的取法数

答案： 12, 4*C(3,1)=12, 即先选一种水果是取2个的，再在剩下的里面挑出来一种取一个

解答：（1）s>1时，s-1/s必大于0，所以1/t-t也大于0，所以1/t>t。若t小于0，则s大于t成立；若t大于0，则t平方小于1，得到-1<t<1，仍是s大于t。条件1即可。

ds 题：st>0 是否s-1/s>t-1/t？(1) s>0 (2) r>1我似乎选的E 但还是不确定。
答：E 举例s=1/2,t=2时不灯饰不成立

51. 3乘10的负三次方=Y, Y的三次方等于X , 问X中第一个非零的数离小数点有多少位？
答案：因该是2.7*10^(-9) 小数点后第8位吧,

54. 知道一个三角形的两个点（1，1）（1，1），三角形面积是4，问第三点可能的选项：
答案：第三点在与y=1平行，且距离为4的两条直线y=-3，y=5上

56. 有k个连续整数，求每个数除以7后的余数和？ 1） k大于7 2） k=7

57. DS:一个数是不是靠近10^(-3)more than10^(-2)? 1.靠近10^(-4)more than10^(-1) 2.靠近10^(-3)more than 10^(-1) 我选的A 条件2可能有出入,记不太清了~可能是靠近10^(-4)more than 10^(-2),

DS, x离10^-3近还是离10^-2近？（1）X is colser to 10^-4 than to 10^-1 (2) X is closer is 10^-3 than to 10^-1

58. J和A叫了相同的饭,都有10%的discount, J按原价的15%给了tips, A按折后的15%给了tips, J比A多给6.25刀(记不清了),问饭的原价是多少

59. DS: an positive integer N=P+M+S PMS are positive consecutive intergers P<M<S; N=xyz where xyz are positive consecutive intergers where X<Y<Z, what is the remainder when N is divided by 5

60. if 1<s<t, s and t are positive intergers and are all factors of n, which of the following must be the factor of n^(st)

答案：1，2 ，设n=a*s*t,n^(st)=a^st*(st)^(st), s>=2，所以(st)^2可以是其因子

61. two kinds of books: hardcover and papercover ones, if the range of the prices of both kinds of books is 50 and the range of the prices of paperbooks is10, what is the range of the prices of the hardcover books:

(1)the lowest price of hardcover books is 2 less than the highest price of paperbook

(2)the highest price of hardcover books is 40 more than the highest price of papercover books

答案：A highest price of hardcover=hh, lowest price of hardcover=lh,highest price of papercover=hp,lowest price of papercover=lp, 则hp-lp=10,由条件1可得,hp-lh=2,所以lp=lh-8,所以50=hh-lp=hh-lh+8,hardcover 的range为42

62. DS.有一个set, I.若x在set,则-x必在set, II.若x,y同时在set里,则xy必在set里,问12是否在此set? (1) 2在set里,(2) -3在set里

63. 具体数字真的忘记,题意大致上为念physics必念calculus,没有人同时念economics和physics,同时念economics和calculus有X人,给economics有Y人,Physics有Z人,Calculus有U人(注意U必大于Z),求至少念一种科目有多少人?

65. x和y是正奇数,x+y=24, x<y,问x有几种解
答案：6,(1,23)(3,21)(5,19)(7,17)(9,15)(11,13)

66. 说一个商店在last 13 天中每天卖书的中位数，第一个：last 7 day每天卖43本，第二个条件好像是告诉13天一共卖了144本，记不清了。这道选a

答案:A 因为中位数必然是从小到大的第七个，而有7天是卖掉43本的，所以怎么排中位都是43

67. 有个人在银行存了m元，年利率是n persent ,单利，问n年后这个人的这笔存款赚了多少钱？大家要注意，这里的n 是有百分号的，答案里有考虑除不除以100
答案: (mn^2)%

68. 在数轴上依次有w,x,y,z，问wxyz是否为负。 (1)wx>0, (2) yz<0
答案: B? (不依次的话：选C)

ds：说有4个点（m,w,t,z按顺序标在数轴上的），问wz>0（反正就是相当于问同号和异号）？1。mt>0 2。mz<0……
答案:C 条件1和2联立，说明z>0>t>w>m

69. 0.01<x<0.02, 1000<y<5000 問[(x^2)y+(y^2)x]/(x^2)(y^2)的可能值

答案: 75 (52<75<100.1)

70. DS ︱X-Z︱>︱X-Y︱? (1) Z^2> Y^2 (2) X<0
答案: E x=-1,y=1,z=-2时不等式不成立，x=-1,y=-1,z=-2时，不等式成立

71. ds：1<=n<10,n是整数，问n值：1。n和1/n的十分位相同 2。n和1/n的百分位相同
答案:
A?

1/1=1,1/2=0.5,1/3=0.3333,1/4=0.25,1/5=0.2,1/6=0.16666,1/7=0.143,1/8=0.125,1/9=0.1111

x和y,x>y,问y是否在数轴0的左边.(1)x+y<0(2)xy<0。

答案

，条件1,2y<x+y<0 ,条件2：xy<0说明x，y一正一副，x>y，所以y<0

73. 混合物中含a是b的2倍，含c是b的3倍，a3.5元/磅，b4元,c4.5元,求混合物的cost。
答案: 个人觉得是求每磅的成本。设b的含量是b磅，(2b*3.5+b*4+3b*4.5)/6b=4.09

75. 某人存钱…元于银行，问第一季度的利息是多少（按季度算复利）（1）第二季度利息比第一季度多1％（2）第二季度的利息比第一季度多2元。D
答案:设存了a元，利息为x，条件1，a(1+x)^2=a(1+x)*1.01,条件2：a(1+x)^2-a(1+x)=2

76. 某年1月1日是Sunday，问第214天是周几。
答案:周三, 每星期都是７天．拿２１４天除以７，得到的余数４天，１月１日是周日，从周日开始的第四天是周三

77. 10人以下$120 11-20人$80，另外每人$4 20人以上每人$8 问C组花了多少钱？
A C组比D组多3人 B C组比D组多花$4
答案:C 条件1和2联立时，因为c比d多3人，但只多4元，说明cd的人数不在同一段上，如果d在11-20，c>20，算出来是15和18，与假设矛盾；如果d<10,c在11和20之间，可以得到d=8，c=11

78. 不超过145kg的占75%，超过145kg的占超过100kg的60%，问中位数？
答案:选一个没超过100kg的答案，超过145的占总数25%，因此超过100的占总数的5/12，少于100的占总数的7/12，所以中数小于100kg

79. DS：a、b、c是positive prime integers，a<b，（没有a+b=c这个条件），x、y、z是正整數，問(a^x)*(b^y)*(c^z)>100 (conditions changed!!!)
(1) x+y+z=5
(2)abc>30
答案：C，条件1：a,b,c最小是2，3，2，x+y+z=5则2^4*3^1<100; 条件2：abc>30，如果x=y=z=1，则(a^x)*(b^y)*(c^z)=30《100;1和2联立abc最小为2，3，7，2^3*3*7>100

80. x比y多40%，z比y少20%，问z比x少百分之几大约？数字是我编的，大概就这个意思，注意是z比x少百分之几
答案：3/7, x=1.4y,z=0.8y,所以z=4x/7

Another one: X is 25%less than Y, Y is more than 10% Z , the question : what percent of X to Z.
答案:x/z=0.75*1.1=82.5%

81. DS：X、Y、Z、是（正）整数，问x+y+z是不是偶数？
1）x+y是偶数
2）y+z(要么就是x+z，记不太清了)是偶数
答案：E,x，y，z都为奇数时，x+Y+z是奇数，x,y,z都为偶数时，x+y+z为偶数

82. DS：r,s,t是正数，问1/r+1/s+1/t>2?
1)r+s+t>1/2
2）r+s+t<1
答案：B，条件1，无法单独判断,条件2得到r<1,s<1,t<1,即1/r>1,1/s>1,1/t>1,1/r+1/s+1/t>2

Another one: x,y,z are positive, 1/x+1/y+1/z>2? 1)x+y+z>1/2 2)x+y+z<1
答案：B，思路：1）用几个数代一下，很快排除。2）中，由于3个1/3加起来是1，xyz都取1/3时，1/X+1/Y+1/Z=3>2，而1/x+1/y+1/Z肯定>3。

83. 选A的不选C, 选A的都选了B,选C又选B的17人，选A的23人，选B的20人，选C的22人，问至少选一门课的多少人
答案：25 (the conditions are questionable)

Another one: 一群学生，选物理的一定选了微积分，选社会学的一定没选物理，选物理的17人，选微积分的35人，其中17人同时选了社会学，选社会学的22人。
答案: 40 ( a+ b + c –ab –ac –bc + abc)

84. K^4 is divided by 32, the remainder is 0. what is the remainder when K is dividled by 32
I 2
II 4
III 6
答案:4 设k=32a+b,k^4=(32a+b)^4=32(...)+b^4,所以b^4需要可以被32整除

85.
which of following can be divided by 3
I 6n^2-3n
II n^3-n
III 3n-n
答案:1和2，1是3(2n^2-n),2是(n-1)n(n+1)

87. DS。图是一个等腰三角型，顶角被三等分，每个三等分的角读数是X度，分之后正中间的小三角形的一个底角的度数是Y度。问是否能确定Y是多少度？
（1）顶角是60度。
（2）忘记了
答案是D，x=20，求出y

88. each of 90 students are at least participate at one activities such as 100-meter run... 20 ppl in XX, 40 ppl in JJ, 80 ppl in GG, if 5 ppl join in all three of them, then how many students join in only two of those activities
A. 25
B, 15
C. 10
D. 5
E &&
答案:40 (20 + 40 + 80-90 + 5 -15)

一个年级100人都参加活动，参加活动A的20，B的40，C的60，3各活动都参加的5人，问参加两项活动的多少人
答案:10

each of 90 students will take at least one course, A 20 students, B 40 students, C 60 students, 5 students take all three courses. How many students take only two courses?
答案:20,

89. (M+1)*(M-1)/24 reminder is r, what is r 1) M cannot be divided by 2; 2)M cannot be divided 3
答案: C 条件1推出M+1和M-1一个可以被2整除一个可以被4整除，即(M+1)*(M-1) 可以被8整除，条件2可以推出M+1和M-1至少一个可以被3整除

90. 一个rectangle（注非正方形）内切于一个圆，圆半径为r求长方形可能的周长有选项2r(根号3 +1) 和4r(根号3+1) 我选第一个
答案:2r(根号3 +1),

设长宽为x，y，两边之和大于第三边得x+y>2r，x^2+y^2=4r^2,(x^2+y^2)/2>=((x+y)/2)^2，得到x+y<2sqrt(2)r,所以周长范围是4r~4sqrt(2)r

91. DS: 某三位数位数乘积54（主意不是45），问个位是多少
1)，the number is greater than 950,
2) the sum of the three units is 15
答案: A 条件1决定百位是9，则十位和个位可以分别为1和6或2和3，故只能为961，条件2单独不成立，54=2*3*3*3，没有可能the sum of the three units is 15

92. 431.box Z and box Bhas red and blue socks, all the red socks are the same length. The length of the red socks is 18 inches longer than the average length of the socks in box z and 6 inches less than the average length of the socks in box B, how much is the average length of the socks in box z more than that of the box B.
答案: 18+6=24 (an easy question but the reading is tricky)

94. DS n>m, m< m+(n-m) x<n (这里有没有=不sure)
1)n-m>0
2)0<x<1
答案:B, m< m+(n-m) x<n<=>0<x<1

n大于等于m, 问m<=x*(n^(m-n))<=n？
1）0<=x<=1
2）n-m>0
答案：E ,1和2联立的时候，如果x=0，n>m>0的话，不等式不成立，如果n>0>m则不等式成立，所以无法判断

95. DS: N是整数, N=?
(1). N(N+2)=15
(2).(N+2)^N=125
答案：B,条件1可以得到n=-5or3，条件2得到n=3

96. 已知一个三角形内接于一个半径为r的圆，不知三角的面积，请估计这个三角的周长？

答案：0~3sqrt(3)r(我猜测是这个范围，但是不知道怎么计算

97. 知P是满足公式n/(n+1)的连续的数的乘积，问数从1到20 ，P值是多少？
答案：P=1/2*2/3*...*20/21=1/21

98. DS ︱X-Z︱>︱X-Y︱? (1) Z^2> Y^2 (2) X<0
答案：E，x=-2，z=2，y=1，成立，若z=-2，y=1责不成立

99. DS，两个连续整数，其sum>积，问：具体什么忘了，但相当与这对整数是否唯一：
1）忘了
2）两个都不是0
答案：B，xy-x-y<0,xy-x-y+1<1,(x-1)(y-1)<1, 因此x和y只可能是0，1和1，2，

x和y,x>y,问y是否在数轴0的左边.(1)x+y<0(2)xy<0。

答案

，条件1,2y<x+y<0 ,条件2：xy<0说明x，y一正一副，x>y，所以y<0

This should be Thursday, isn't it?? Start counting from Monday..