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标题: 【汇总】gmat常用但较难的数学定理 （请高手证明） [打印本页]
作者: 问答者你好吗 时间: 2017-12-4 12:43
标题: 【汇总】gmat常用但较难的数学定理 （请高手证明）
一下是楼主总结的比较难的gmat数学定理 但多数用在算数或者代数里面，可以提高做题的速度。
但是楼主数学没那么好 请教论坛高人能对下面的命题做下证明？或者说说证明的方法？
1. 若n是自然数，不被3整除，则n的平方被3除余数为1
2. 若n是奇数，则n的平方被4除余数是1
3. 若自然数a被自然数m除，余数是c；若自然数a被自然数n除，余数也是c，则a被m和n的最小公倍数除，余数仍是c
4. 奇数的平方被8除余数是1
5. 任何一个自然数如果有奇数个因子，一定是完全平方数。如果有偶数个因子，一定不是完全平方数
6. 若自然数n有m个因子，且m为大于2的质数，则n必为某一个质数（m-1）次方
作者: hookshot 时间: 2017-12-4 13:00
1很简单，n不是3的倍数，所以n+1或者n-1必有一个是3的倍数，推出n平方-1必是3的倍数，相当于n平方被3除的余数为1.2的原理是一样的，用n-1跟n+1
作者: 问答者你好吗 时间: 2017-12-4 21:04
谢谢！
作者: yichenghaha 时间: 2017-12-4 22:12
第二个，奇数用2n-1表示，n为正整数， 所以（2n-1）^2=4n^2-4n+1, 它除以4，当然余1啦
作者: yichenghaha 时间: 2017-12-4 22:15
第五个，有奇数个因子，说明肯定不是质数，为什么会有奇数个因子呢？因为除了1和它本身之外，有一个因子的平方等于它，所以只能算一个，因此它一定是完全平方数
作者: Rachelful 时间: 2017-12-5 11:47
Mark一下~
作者: 吳縣大 时间: 2017-12-5 16:42
一下是楼主总结的比较难的gmat数学定理 但多数用在算数或者代数里面，可以提高做题的速度。
但是楼主数学没那么好 请教论坛高人能对下面的命题做下证明？或者说说证明的方法？
1. 若n是自然数，不被3整除，则n的平方被3除余数为1
2. 若n是奇数，则n的平方被4除余数是1
4. 奇数的平方被8除余数是1
否則考試的時候隨便改個數字你這邊8條10條都列不完
#1 #2 #4 這幾個東西背後原理都類似 未知數沒特別說明都預設(正)整數
N mod A = S (N 除以 A 的餘數是 S)
M mod A = T
那麼
(MN) mod A = (ST) mod A
舉例
m mod 10 = 7 (m的個位數是7)
n mod 10 = 8 (n的個位數是8)
mn mod 10 = 56 mod 10 = 6 (所以 mn 的個位數是6)
我們直接看最複雜的#4，K is odd
K mod 8 = 1, 3, 5, or 7
K*K mod 8 有四種可能 1*1 3*3 5*5 7*7 ，這四個平方數除以8的餘數都剛好是1
#1 n不是3的倍數，那麼 n mod 3 = 1 or 2， 1的平方跟2的平方，除以3的餘數也都是1
#2 再追加補充：偶數的平方 除以4都餘0 (都是4的倍數)
3. 若自然数a被自然数m除，余数是c；若自然数a被自然数n除，余数也是c，则a被m和n的最小公倍数除，余数仍是c
A mod N = C --> 所以 (A-C) mod N = 0, in other words (A-C) is multiple of N
所以
(A-C) is a common multiple of M and N --> (A-C) is a multiple of LCM(M,N) --> A mod LCM(M,N) = C
5. 任何一个自然数如果有奇数个因子，一定是完全平方数。如果有偶数个因子，一定不是完全平方数
6. 若自然数n有m个因子，且m为大于2的质数，则n必为某一个质数（m-1）次方
正整數 N = (2的a次方)(3的b次方)(5的c次方).... <--- 質因數分解
那麼正整數N 有 (a+1)(b+1)(c+1).... 個正因子
所以如果正整數N有奇數個正因子，表示N的質因數分解，那些"次方
"(a,b,c...)通通都是偶數 (如此 a+1 b+1 ....等 才會都是奇數)
完全平方數 <---> 質因數分解後次方都是偶數
會了這個公式之後，#6應該就可以推論的出來
我是不知道你GMAT數學是怎麼準備的，但我剛才列的這些基本原則(mod的運算、兩個mod組合成一個、正因子個數的算法)如果都不會，只單純把結果(就像你列的#1~#6)背下來的話，考試結果堪慮！
作者: Jennifer913 时间: 2017-12-6 05:39
mark
作者: dirklaobadao 时间: 2017-12-6 09:57
厉害！
作者: dirklaobadao 时间: 2017-12-6 09:58
beautiful mind...
作者: dirklaobadao 时间: 2017-12-6 09:59
“我們直接看最複雜的#4，K is odd
K mod 8 = 1, 3, 5, or 7
K*K mod 8 有四種可能 1*1 3*3 5*5 7*7 ，這四個平方數除以8的餘數都剛好是1”
9*9呢？
作者: andizza 时间: 2017-12-6 11:26
1. 设n=3k+m，n^2=9k^2+6mk+m^2。m只能为1或者2，m^2为1或者4，得证。
2. n=2k+1，n^2=4k^2+4k+1，得证。
3. a-c即能被m整除，又能被n整除，所以a-c必然能被m和n的最小公倍数整除。又c不能被m整除，不能被n整除，故得证。
4. n=2k+1, n^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1。由于k(k+1)必然被2整除，故4k(k+1)必然被8整除，得证。
5. 设自然数n，k是n的因子，则n/k也是n的因子，当k不等于n/k时，k和n/k必然成对出现。故只有当k=n/k，即n=k^2时，n才可能有奇数个因子。得证。
6. 对于任意一个自然数n，若它可以写成p1^a1*p2^a2*...*pk^ak，其中p1...pk都是质数，则n共有(a1+1)*(a2+1)*...*(ak+1)个因子。考虑到m是一个大于2的质数，说明n只有一个质因子p，也就是n=p^(m-1)。得证。
作者: junelovegreen 时间: 2017-12-6 13:16
看一下！
作者: 水师cn 时间: 2017-12-6 20:20
看一下！
作者: 水师cn 时间: 2017-12-6 20:32
同意！
作者: 师叔 时间: 2017-12-6 23:07
看一下
作者: 吳縣大 时间: 2017-12-7 16:22
9 mod 8 = 1
(9*9) mod 8 = (1*1) mod 8 = 1 mod 8 = 1
11*11 13*13 15*15 就不用繼續問囉
作者: 痞子大哥樾择 时间: 2017-12-7 16:48
虽然考了两次数学都是51，但我真的想说：从来没有用到过这些定理哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈。
楼主不要纠结于证明了，玩玩就好。
作者: dirklaobadao 时间: 2017-12-8 09:56
同意！
作者: 问答者你好吗 时间: 2017-12-9 10:23
感谢！
作者: renegade23 时间: 2019-6-4 18:03
感谢分享！
作者: 鹿力大仙 时间: 2021-10-31 00:42
因为m是质数，所以只可能是 m=(a+1)(b+1)哦，且a、b中有一个为0， 因为质数只有1和它本身两个因子。
假设a是0，m=b+1-—〉b=m-1， 把m-1带回n的式子所以说：n必为某一个质数（m-1）次方
作者: 哎惢嘶 时间: 2023-7-17 17:18
好酷
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